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差分约束基本讲解

开发技术 开发技术 4天前 8次浏览

如果一个系统由 n 个变量和 m 个约束条件组成,每个约束条件形如 (x_j-x_i<=b_k),其中 (i,jin[1,n],kin[1,m]),则称其为差分约束系统(System of Difference Constraints)。亦即,差分约束系统是求解关于特殊的 (N) 元一次不等式组的方法。

我们先来看一个简单的数学问题,如下给定 4 个变量和 5 个不等式约束条件,求 (x_3-x_0) 的最大值。

[begin{align}
x_1-x_0<=2 tag{1} \
x_2-x_0<=7 tag{2} \
x_3-x_0<=8 tag{3} \
x_2-x_1<=3 tag{4} \
x_3-x_2<=2 tag{5}
end{align}
]

我们可以通过不等式的两两加得到三个结果,

[begin{align}
x_3-x_0<=8 tag{式3} \
x_3-x_0<=9 tag{式2+式5} \
x_3-x_0<=7 tag{式1+式4+式5}
end{align}
]

由以上结果很容易得知,(x_3-x_0) 的最大值是 7,也就是上面三式里的最小值。

这个例子很简单,只有 4 个变量和 5 个不等式约束条件,那如果有上百变量上千约束条件呢?仅凭肉眼手工计算效率太差,因此我们需要一个较为系统的解决办法。

我们先来看一幅图,如下,给定四个小岛以及小岛之间的有向距离,问从 0 号岛到 3 号岛的最短距离。箭头指向的线代表两个小岛之间的有向边,蓝色数字代表距离权值。

差分约束基本讲解

这个问题就是经典的最短路问题。由于这个图比较简单,我们可以枚举所有的路线,发现总共三条路线,如下:

  1. 0 -> 3,长度为 8

  2. 0 -> 2 -> 3,长度为 7 + 2 = 9

  3. 0 -> 1 -> 2 -> 3,长度为 2 + 3 + 2 = 7

最短路为三条线路中的长度的最小值,即 7,所以最短路的长度就是 7。细心的读者会发现,这幅图和最上方的五个不等式约束条件是有所关联的,但这个关联并不是巧合,而正是我们接下来要讲的那个 "系统的解决办法"。

差分约束与最短路

差分约束系统中的每个约束条件 (x_i-x_j<=c_k) 都可以变形成 (x_i<=x_j+c_k),这与单源最短路中的三角形不等式 (dist[y]<=dist[x]+z) 非常相似。

因此,我们可以把每个变量 (x_i) 看做图中的一个结点,对于每个约束条件 (x_i-x_j<=c_k),看成是从结点 (j) 向结点 (i) 的一条权值为 (c_k) 的有向边,于是我们就可以把一个差分约束系统转化成图的最短路问题。

然而在实际问题中情况往往会复杂得多,例如,把条件约束里的所有等号去掉,

[begin{align}
x_1-x_0<2 notag{} \
x_2-x_0<7 notag{} \
x_3-x_0<8 tag{去掉等号后} \
x_2-x_1<3 notag{} \
x_3-x_2<2 notag{}
end{align}
]

这个时候我们就需要将上面的小于号转换成小于等于号。

(x_i) 被限定只能是整数时,这个转换就会非常简单,

[(x_i-x_j<c_k) ↔ (x_i-x_j<=c_k-1) notag{}
]

总结

差分约束问题下,

  1. 如果要求最大值,则想办法把每个不等式变为标准 (x_i-x_j<=c_k) 的形式,然后建立一条从 (j)(i) 权值为 (c_k) 的边,最后求最短路径即可。
  2. 如果要求最小值,则想办法把每个不等式变为标准 (x_i-x_j>=c_k) 的形式,然后建立一条从 (j)(i) 权值为 (c_k) 的边,最后求最长路径即可。

基本题

CodeVS 4416 – FFF 团卧底的后宫

给出 n 个形如 $x_i – x_j <= d $ 或 $x_i – x_j >= d $ 的不等式,求一组使 与 差最大的解,输出最大差值,若无解输出 -1,若 与 的差为无限大则输出 -2

#include <cstdio>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <queue>

const int MAXN = 1000;
const int MAXM = 10000;

struct Edge;
struct Node;

struct Node {
    Edge *edges;
    bool inQueue;
    int dist;
    int count;
} nodes[MAXN];

struct Edge {
    Node *from, *to;
    int w;
    Edge *next;

    Edge(Node *from, Node *to, int w) : from(from), to(to), w(w), next(from->edges) {}
};

int n, m, k;

inline void addEdge(int from, int to, int w) {
    nodes[from].edges = new Edge(&nodes[from], &nodes[to], w);
}

inline bool bellmanFord() {
    std::queue<Node *> q;

    q.push(&nodes[0]);
    while (!q.empty()) {
        Node *node = q.front();
        q.pop();
        node->inQueue = false;

        for (Edge *edge = node->edges; edge; edge = edge->next) {
            if (edge->to->dist > node->dist + edge->w) {
                edge->to->dist = node->dist + edge->w;

                if (!edge->to->inQueue) {
                    edge->to->inQueue = true;
                    edge->to->count++;
                    q.push(edge->to);

                    if (edge->to->count > n) {
                        return false;
                    }
                }
            }
        }
    }

    return true;
}

int main() {
    scanf("%d %d %d", &n, &m, &k);

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        nodes[i].dist = INT_MAX;
    }

    nodes[0].dist = 0;

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, d;
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &d);
        a--, b--;

        addEdge(a, b, d);
        // $b - $a <= d
        // $a + d >= $b
    }

    for (int i = 0; i < k; i++) {
        int a, b, d;
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &d);
        a--, b--;

        addEdge(b, a, -d);
        // b - a >= d
        // a - b <= -d
        // b + -d >= a
    }

    if (!bellmanFord()) {
        puts("-1");
    } else {
        if (nodes[n - 1].dist == INT_MAX) {
            puts("-2");
        } else {
            printf("%dn", nodes[n - 1].dist);
        }
    }

    return 0;
}

参考

  • 差分约束系统,维基百科
  • 差分约束,博客园
  • 差分约束系统学习 , 个人博客

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