• 如果您觉得本站非常有看点,那么赶紧使用Ctrl+D 收藏吧

线段树和树状数组学习笔记

开发技术 开发技术 1周前 (08-02) 18次浏览

    学习了一周的线段树和树状数组,深深地体会到了这每种操作几乎都是 (O(logN)) 级别的数据结构的美,但是做起题来还是相当痛苦的(特别是一开始只会模板的时候,很难灵活运用线段树的性质)。还好有雨巨大神带入门,视频讲解十分直观(b站上也有很多介绍线段树的视频),不用像以前一样看各种博客题解入门。但是我现在就是在写博客了,希望能尽可能将我目前理解的知识整理出来,毕竟能让别人看懂(网上已经这么多关于线段树和树状数组的文章你还能找到我,相信我,你没选错),才说明自己也是真的懂了(虽然我还有好多不懂 (QAQ))。全文篇幅较长,细心理解一定会有收获的♪(^∇^*)。

线段树

一些概念

    线段树是一种二叉搜索树,每一个结点都是一个区间(也可以叫作线段,可以有单点的叶子结点),有一张比较形象的图如下(侵删):
线段树和树状数组学习笔记
    可以看出,线段树除根结点外的其他节点,都由其父节点二分长度得到,这种优秀的性质使得我们可以把它近似看成是一棵完全二叉树。而完全二叉树可以用一个数组表示:设根节点下标为 (now) (在代码中我习惯用 (now) 表示当前节点, (ls(now)) 表示左孩子结点, (rs(now)) 表示右孩子结点),则:

[ls(now) = now*2,rs(now) = now*2+1
]

    这样就可以快速得到孩子的下标,根节点的下标为1,从上到下,从左往右编号既可将一颗线段树存入小巧的数组里了,不用烦人的指针。一般我会把左孩子和右孩子写到宏定义去,让代码更简洁,并且使用位运算,即:

[ls(now) = now<<1,rs(now) = now<<1|1
]

   这是等效的写法,同时我们要获得中间值,来二分 (now) 结点,同样我用了宏定义:

[mid = (l+r)/2
]

    (l)(r)(now) 的左右边界,即它所能管理(覆盖)的范围,明确这一点非常重要。线段树有很多种写法,我看的很多代码都是把 (l)(r) 写在线段树节点的结构体里面,我习惯是用传参数的方法(因为带我入门的雨巨就是这样写的。其实两种写法都是可以的,看个人习惯,最后熟练一种即可,但是另一种也要看得懂)。左孩子的左边界还是 (l) , 右边界变成了 (mid)右孩子的左边界变成 (mid+1) ,右边界是 (r) 。这样就可以递归建树了。
   这个线段树数组的大小也是要注意(经常 (RE) 的地方),要开4倍的数组,就是说一个长度为10的区间,得开到40的数组。一般题目数据的范围都是在 (10^5) 的量级。有时数据范围过大,还可以用离散化解决它,这在后面的博客中会讲到。

能解决什么问题

   线段树能解决超多有关区间的问题,还有一些不这么明显的区间问题(废话)。像什么单点修改,单点查询,区间修改,区间查询都不在话下,应用范围比树状数组广,变通性极强(树状数组能解决的问题线段树都能解决,但是后者能解决的一些问题树状数组还是搞不了的,但是树状数组时空常数小,代码量少,还不容易写错)。线段树可以区间维护区间和、区间乘,区间根号,区间最大公因数,连续的串长度等、区间最值操作等。这里我给出一个洛谷题单和一个牛客题单,我也是刚刚刷完了这些题,质量都很高。

  • 题单一:洛谷【数据结构2-2】线段树与树状数组
  • 题单二:牛客算法竞赛入门课第九节(线段树)习题

   我是先做牛客的再去做洛谷的,顺序没什么。牛客题解比较少,需要自行百度理解(摘自牛客的一些比赛的比较多),洛谷质量就很高,题解丰富,做法也很多。可以先去做掉洛谷的四道模板题(线段树两道,树状数组两道,你还会发现线段树其实有三道模板题,模板三理解起来比较困难,建议先刷完前面的题再去攻克,不然很可能会自闭(我坦白了,我已经自闭了))。写完这篇总结后我会挑一些比较好的题再写一篇博客,算是题解总结吧。

建树、修改和查询

   题目一:P3372 【模板】线段树 1
   我们从模板题入手,题目中的两个操作正是线段树很经典的操作:区间修改和区间查询。我们思考以下几种做法:
   ① 如果让我们暴力地修改区间每一个值,再暴力查询区间的每一个值,修改和暴力都是 (O(n)) ,加上 (m) 次操作,总的时间复杂度就是 (O(nm)) 的,必定 (TLE)
   ② 预处理前缀和,进行离线操作。每次修改为 (O(n)) ,查询为 (O(1)) ,时间复杂度依旧是 (O(nm)) ,还是会 (TLE)
   ③ 以上操作的瓶颈都每次操作时间复杂度都是 (O(n)) ,这时我们想起了每次操作都是 (O(logn)) 线段树, 总的时间复杂度就是 (O(mlogn)) , (AC) 了。
   开始介绍之前,先交代一下线段树结构体:

const int maxn = 1e5+5;
struct node{
    ll sum,lazy; //sum为区间和,lazy为懒标记
}t[maxn<<2];   //开四倍空间

   区间和就不用说了,重点讲一下线段树 (O(logn)) 操作的关键:懒标记 (lazy) 。懒标记就是懒,将对区间操作的命令不立刻执行,而是到万不得已的时候才执行下去,否则就继续“偷懒”,将命令继续压在自己手上,不往自己孩子传。什么时候可以不往孩子节点传下去(即偷懒)呢?如果此时要修改的区间范围已经囊括了当前节点能管理的范围,那我就把这个命令直接在当前节点消化掉,不必再通知孩子也要执行这个命令了
   举个栗子,比如我命令 ([1,10]) 区间全部给我加 (10) ,到 ([1,10]) 这个节点的时候,([1,10]) 正好包含住我管理的区间,那我直接给它的懒标记加上 (10) ,给区间和加上 (100) ,美滋滋地结束了任务,孩子们甚至不用知道这件事。下次如果要查询 ([1,10]) 的区间和的话,我直接在 ([1,10]) 这个节点返回就好了,因为它已经修改正确了。但是很多时候命令的区间是多个节点的并集区间。如果接下来我要 ([4,7]) 这个区间加 (5) ,这个区间是 ([4,5])([6,7]) 这两个节点的并,你可能会说这不就是在这两个节点打上标记就完事了吗?可事实上你之前在 ([1,10]) 打上了懒标记,这个会影响 ([4,5])([6,7]) 的区间和,而它的影响因为上次偷懒还没传下去呢,实际上 ([4,5])([6,7]) 的懒标记应该打上 (15) 才对。那我们怎么亡羊补牢呢?诶,这需要 (pushdown) 函数帮忙啦,先卖个关子,先来讲讲怎么建树和修改。

建树build

   先给出代码,四行建树。

void build(int now,int l,int r){
    if(l == r) { cin>> t[now].sum ; return;}
    build(ls,l,mid);
    build(rs,mid+1,r);
    t[now].sum = t[ls].sum + t[rs].sum;
}

    (now)是当前节点的数组下标,(l)(r) 是它所管辖的范围,如果 (l)(r) 相等,说明到了叶子节点,也就是单点的情况,这时就直接读入数据好了,只有一个元素,区间和肯定就是它本身了,注意之后要返回,因为它不可再细分了;否则,将管辖范围一刀两半,利用类似完全二叉树的性质,递归建立左子树 (ls) 和右子树 (rs),这是我的宏定义(你可以修改各个变量名,很多人习惯用 (p) 代表当前节点,我比较直接就用 (now) 了):

#define ls now<<1
#define rs now<<1|1
#define mid (l+r)/2

   建树代码最后一行是关键,也是线段树建树的精髓,我们一般将这句话写在一个函数 (pushup) 里面,与 (pushdown) 正好对应。在这里,它在递归返回时,左右子树已经建好了,要将它们的区间和信息整合到根节点,这里直接累加即可,不必成单独一个函数。但是当要维护的信息量很多时,因为这个 (pushup) 后面还会调用,我们会将它单独写成一个函数以减少代码量,降低维护成本。
这里的 (pushup) 代码可以写成:

void pushup(int now){
    t[now].sum = t[ls].sum + t[rs].sum;
}

   建树完毕,总结一下:
   1.先写递归返回条件 (l == r)
   2.递归左右子树 。
   3.合并两子树 (pushup)

修改update

   同样先给出代码:

void update(int now, int l, int r, int x, int y, int value){
    if(x <= l && r <= y) {
       t[now].lazy += value;
       t[now].sum += (r - l + 1) * value;
       return;
    }
    if(t[now].lazy)  pushdown(now,r-l+1);  
    //懒标记下传,与本次修改的信息无关,只是清算之前修改积压的懒标记
    if(mid >= x) update(ls, l, mid, x, y, value);
    if(mid < y) update(rs, mid + 1, r, x, y, value);
    pushup(now);
}

   前三个参数是固定参数,只与线段树本身有关,可以无脑打上,后三个参数在本题的意义为将 (x)(y) 区间上每个值加上 (value) (可正可负)。
   首先我们还是得先写递归返回条件:如果要修改的区间满足 ([l,r]in[x,y]) ,也就是说已经涵盖了本区间了,那我就没有必要再将修改信息往下传了,在我这里修改就可以了嘛。所以我们偷个懒,打上标记,给区间和加上增量,搞定,返回。但是如果要修改的区间是 ([l,r]) 的一部分,就要像之前我们说的,要执行神秘的 (pushdown) 操作了,即将懒标记下传。这里特别要注意的是,本次下传懒标记和这次修改没有任何关系,从传递的参数也可以看出来与后三个参数无关,它的作用就是清算之前偷懒造成的影响。来看看这个重要的 (pushdown) 代码

void pushdown(int now,int tot){
    t[ls].lazy += t[now].lazy;        //懒标记给左孩子
    t[rs].lazy += t[now].lazy;        //懒标记给右孩子
    t[ls].sum += (tot - tot/2) * t[now].lazy;  //区间和加上懒标记的影响,注意范围
    t[rs].sum += (tot/2) * t[now].lazy;
    t[now].lazy = 0;  //记得懒标记下传后清0
}

  新参数 (tot) 表示当前节点管辖区间的范围大小,注意左孩子管辖范围为 (tot-tot/2)右孩子是 (tot/2) ,在加区间和的时候要小心。把之前偷懒的部分传给孩子后,偷懒记录就清零啦(摸鱼成功)。这时不要不放心继续 (pushdown) 左孩子和右孩子,这是没有必要的,因为之后我们还会继续 (update) 左子树和右子树(看上上个代码),如果有需要就会进行 (pushdown),没有需要就继续偷懒。这样就能保证完整的 (update) 操作是 (O(logn)) 的。注意,递归左右子树之前先判断需不需要递归。分两种情况,如果你要修改的部分完全在左子树,就没有必要修改右子树;同理亦是如此。这样可以防止无限递归了(如果在测试样例的时候发现不出结果,大概率就是这里没写对)。
   修改完毕,总结一下:
   1.先写递归返回条件 (x <= l ~&&~ r <= y) ,执行偷懒操作。
   2.如果当前节点有懒标记积压,执行 (pushdown) 操作,先清算之前的账。
   3.根据条件判断递归哪棵子树(可能两棵都会修改)进行修改。
   4.合并两子树 (pushup)

查询query

  最后一部分就是查询了,与修改操作其实比较类似:

ll query(int now, int l, int r, int x, int y){
    if(x <= l && r <= y) return t[now].sum;
    if(t[now].lazy) pushdown(now,r-l+1);
    ll ans = 0;
    if(mid >= x)  ans += query(ls, l, mid, x, y);
    if(mid < y)  ans += query(rs, mid + 1, r, x, y);
    return ans;
}

  你可能也发现查询操作比较好理解,最不容易写错,也是写的比较开心的一部分了。要注意的还是记得 (pushdown) ,因为要查询的区间可能是当前节点的某个孩子,如果不把之前的懒标记下传,查询会出错。递归返回区间和就行,并不用 (pushup) (查询不会修改当前节点的值)。
   查询完毕,总结一下:
   1.先写递归返回条件 (x <= l ~&&~ r <= y) ,返回区间和信息即可。
   2.如果当前节点有懒标记积压,执行 (pushdown) 操作,先清算之前的账。
   3.根据条件判断递归子树进行查询。
   4.合并两子树查询结果并返回。

完整代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define For(i,sta,en) for(int i = sta;i <= en;i++)
#define speedUp_cin_cout ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);
#define ls now<<1
#define rs now<<1|1
#define mid (l+r)/2
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5+5;
int n,m;
struct node{
    ll sum,lazy; //sum为区间和,lazy为懒标记
}t[maxn<<2];

void pushup(int now){
    t[now].sum = t[ls].sum + t[rs].sum;
}

void build(int now,int l,int r){
    if(l == r) { cin>> t[now].sum ; return;}
    build(ls,l,mid);
    build(rs,mid+1,r);
    pushup(now);
}

void pushdown(int now,int tot){
    t[ls].lazy += t[now].lazy;        //懒标记给左孩子
    t[rs].lazy += t[now].lazy;        //懒标记给右孩子
    t[ls].sum += (tot - tot/2) * t[now].lazy;  //区间和加上懒标记的影响,注意范围
    t[rs].sum += (tot/2) * t[now].lazy;
    t[now].lazy = 0;  //记得懒标记下传后清0
}

void update(int now, int l, int r, int x, int y, int value){
    if(x <= l && r <= y) {t[now].lazy += value; t[now].sum += (r - l + 1) * value;return;}
    if(t[now].lazy)  pushdown(now,r-l+1);  //懒标记下传,与本次修改的信息无关,只是清算之前修改积压的懒标记
    if(mid >= x) update(ls, l, mid, x, y, value);
    if(mid < y) update(rs, mid + 1, r, x, y, value);
    pushup(now);
}

ll query(int now, int l, int r, int x, int y){
    if(x <= l && r <= y) return t[now].sum;
    if(t[now].lazy) pushdown(now,r-l+1);
    ll ans = 0;
    if(mid >= x)  ans += query(ls, l, mid, x, y);
    if(mid < y)  ans += query(rs, mid + 1, r, x, y);
    return ans;
}

int main(){
    speedUp_cin_cout//加速读写
    cin>>n>>m;
    build(1,1,n);  //建树顺便读入,省一个数组
    int op,l,r,d;
    For(i,1,m){
        cin>>op;
        if(op == 1) {  // l 到 r 加上 d
            cin>>l>>r>>d;
            update(1, 1, n, l, r, d);
        }else {
            cin>>l>>r;     //查询 l 到 r 的值
            cout << query(1, 1, n, l, r) << endl;
        }
    }
    return 0;
}

  干掉这题就可以去做P3373 【模板】线段树 2了,这题会提升你对懒标记的理解,(pushdown) 的懒标记下传处理变得有些复杂。因为它要同时维护区间加标记和区间乘标记,区间乘标记会同时影响区间加标记和区间乘标记,想要 (AC) 还是得细心理解乘和加的关系。

树状数组

一些概念

  树状数组,顾名思义,就是像一棵树的数组。其实它和树关系不太大,实际操作时有类似在树上节点的跳跃的过程,但是在写代码的时候它也不过是个一维数组而已,和线段树还是有一点点像的,不过是将线段树的一些精华部分充分压缩了。来,让我们看看传说中的树状数组长啥样(纯手工,不要在意细节):
线段树和树状数组学习笔记
  绿油油的就是树状数组啦,它头上红色的是这个下标对应的二进制,最底下的就是原数组了。直觉告诉你,他们之间隐约存在某些关系。你可能会觉得这里一共有两个数组,还有一堆连线,要维护起来是不是很麻烦啊。其实他们可以只用一个一维数组存储所有信息,而其中关键的纽带就是二进制
  我们设原数组为 (A) ,树状数组为 (T) ,定义连线的意义就是一个节点能管辖的范围。例如 (T_1) 能直接管辖管辖到 (A_1) , (T_2) 能管辖到 (T_1) (间接管辖到 (A_1))和 (A_2), (T_4) 能管辖到 (T_2)(T_3)(A_4) ,亦即 (T_4) 能管辖到原数组 (A_1)(A_2)(A_3)(A_4) …以此类推,(T_8) 能管辖到原数组所有值。所以,我们只要存储 (T_1) , (T_2) 的值,原数组中 (A_2) 可以由这两者相减得到;同理, (A_5)(A_6)(A_7)(A_8) 的总和可以由 (T_8) 减去 (T_4) 得到。所以,我们只要保留树状数组,原数组的信息完全可以由树状数组维护出来,并且轻松知道任意一个区间的信息和
  那么新的问题出现了,我们如何知道谁管辖谁,他们之间有什么联系吗?这时,奇妙的二进制出现了。观察树状数组头上的二进制,看出被管辖者与管辖着之间在二进制上的联系了吗?揭晓答案,被管辖者加上 (2^k)(k) 为被管辖者二进制末尾零的个数,即可得到管辖着的二进制!举个栗子,(T_2) 的二进制为 (0010) ,加上 (2^1(0010)) ,得到 (0100) ,即 (T_4) 。我们一般将 (2^k) 写成一个函数叫 (lowbit) ,树状数组下标 (x) 与它的 (lowbit) 如下关系:

[lowbit = x&(-x)
]

  证明其实没必要,会用就行,这涉及到负数在计算机中存储的形式,可以自己证一下。

修改update

  P3374 【模板】树状数组 1
  树状数组完全不用像线段树一样需要一个函数来建树,声明了一个一维数组(数组大小等于数据量即可,不用开多几倍)直接就可以进行修改查询等操作了。它的修改函数代码非常短,而且形式几乎不变。

void update(int now,int value){
    while(now <= n){
        t[now] += value;
        now += lowbit(now);
    }
}

  三行循环就结束了,线段树自愧不如。这个函数的意义是在原数组的 (now) 的下标位置加上 (value) ,循环的终点是大于了树状数组的下标范围 (n) 。它是怎么通过加上 (lowbit) 实现的呢?来看下面这张图:
线段树和树状数组学习笔记
  假如我们要修改原数组 (5) 这个位置的值,能管辖到它的只有 (T_6)(T_8) 。因为我们要求区间和,所以 (T_6)(T_8) 要都加上 (T_5) 修改后的值才行。这时我们用一个 (lowbit) 在循环中从 (T_5) 跳到 (T_6),再跳到 (T_8) ,一气呵成。这样,单点修改操作就完成啦。

查询query

  查询操作永远是和修改操作配套的,一切修改的目的都是为了查询的方便。既然修改代码这么短小精悍,那么查询代码就更加小巧了,请看:

ll query(int now){
    ll ans = 0;  //long long 类型的答案
    while(now){
        ans += t[now];
        now -= lowbit(now);
    }return ans;
}

  代码的意义是查询原数组从 (1)(now) 的前缀和,即从 (A_1)(A_{now}) 的和。注意这时我们的 (lowbit) 操作变成了减,而之前修改操作是加。原理也可以看图说明:
线段树和树状数组学习笔记
  图中我们查询的是 (1) ~ (7) 的前缀和,我们先加上 (T_7) 的答案,再减去它的 (lowbit) 跳到 (T_6) ,最后跳到 (T_4) ,因为 (T_6)(T_4) 在前面的修改操作中已经维护出了自己管辖区域的区间和,都加上就是 (1) ~ (7) 的前缀和了。
  知道了前缀和,区间和其实就很容易了,假如我们要求 ([x,y]) 的区间和,其实就是 (query(y)-query(x-1))注意是 (x-1) ,要自己想一想,这个地方总是容易被忽略

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define For(i,sta,en) for(int i = sta;i <= en;i++)
#define speedUp_cin_cout ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);
#define lowbit(x) x&(-x)
typedef long long ll;
const int maxn = 5e5+5;
int t[maxn],n,m,num;

void update(int now,int value){
    while(now<=n){
        t[now]+=value;
        now += lowbit(now);
    }
}

ll query(int now){
    ll ans = 0;  //long long 类型的答案
    while(now){
        ans += t[now];
        now -= lowbit(now);
    }return ans;
}

int main(){
    speedUp_cin_cout
    cin>>n>>m;
    For(i,1,n) {
        cin>>num;
        update(i,num);
    }int op,x,y;
    For(i,1,m){
        cin>>op>>x>>y;
        if(op == 1) update(x,y);
        else cout<<query(y)-query(x-1)<<endl;
    }
    return 0;
}

  是不是比线段树短多了。这是单点修改,区间查询。洛谷还有道P3368 【模板】树状数组 2,是区间修改,单点查询。这就需要差分的思想了。所谓的差分,其实就是后一项与前一项的差,对于第一项而言,(a[0] = 0) 。设数组 (a[~]={1,9,3,5,2}) ,那么差分数组(t[~]={1,8,-6,2,-3}) ,即 (t[i]=a[i]-a[i-1]) ,那么 $$a[i]=t[1]+…+t[i]$$
这不就是前缀和吗?以对原数组的区间修改,单点查询就是在其差分数组上单点修改,区间查询。但是要注意的是,这里的单点其实是要修改两个点。例如我们如果要让 ([2,3]) 区间加上 (4) ,首先是要修改差分数组上的 (t[2] +4), 然后还要修改 (t[4]-4) ,这也是很好理解的,毕竟 ([2,3]) 区间比其他区间突出了一块,整体提高了 (4) ,而其他的区间的差分关系并没有被改变。这样,我们也可以很愉快地 (AC) 这道题了。

还有一些话

  做模板题是快乐的(除了P6242 【模板】线段树 3),但是实际应用起来是比较头疼的。因为线段树和树状数组灵活性很高,可以解决很多看似无法下手的问题,但是要维护的信息多得容易摸不着头脑(不知道为什么这样做就可以了),逻辑关系环环相扣,时不时就得感叹一下“妙”。这些都得做更多的题来体会了。还有不要死记模板,要清楚知道每一步的作用,很多时候一些顺序会颠倒,来解决不同的问题,这是需要警惕的。
  如果觉得对你理解有帮助的希望给我点个赞哦,ο(=•ω<=)ρ⌒☆


喜欢 (0)