波动率模型
- 什么是波动率？
- ${rm ARCH}$ 模型引入
- ${rm ARCH}(1)$ 模型
- ${rm ARCH}(m)$ 模型
- ${rm GARCH}$ 模型引入和模型设定
- ${rm GARCH}(1,,1)$ 模型
- ${rm GARCH}(1,,1)$ 预测波动率示例

波动率模型

什么是波动率？

波动率指的是资产价格的波动强弱程度，类似于概率论中随机变量标准差的概念。波动率不能直接观测，可以从资产收益率中看出波动率的一些特征。

为建立波动率随时间变化的一般模型，我们定义波动率是收益率的条件标准差。设 (r_t) 是某种资产在 (t) 时刻的基于某时间单位的对数收益率，一般认为 ({r_t}) 序列是前后不相关的或低阶自相关的，但不是前后独立的时间序列。

一元波动率模型就是试图刻画收益率这种本身不相关或低阶自相关，但前后不独立的模型。用 (mathcal{F}_{t-1}) 表示截止到 (t-1) 时刻的收益率的全部历史信息，尤其是包括这些收益率的线性组合。考虑 (r_t) 在 (mathcal{F}_{t-1}) 条件下的条件均值和条件方差：

[mu_t={rm E}(r_t|mathcal{F}_{t-1}) , sigma_t^2={rm Var}(r_t|mathcal{F}_{t-1}) .
]

可以将 (r_t) 分解为：

[r_t=mu_t+a_t ,
]

其中 ({a_t}) 为不相关的白噪声序列，这里我们对白噪声序列假设 ({rm E}(a_t|mathcal{F}_{t-1})=0) 。这个条件比不相关零均值白噪声序列的条件要强一些。综合以上条件，可以有

[sigma_t^2={rm Var}(r_t|mathcal{F}_{t-1})={rm Var}(a_t|mathcal{F}_{t-1})={rm E}(a_t^2|mathcal{F}_{t-1}) .
]

这里的 (sigma_t) 就是波动率，是收益率的条件标准差。

如果假设模型中的白噪声 ({a_t}) 是独立序列，则 (sigma_t^2equivsigma^2) ，波动率就没有建模的可能。但是实际上，假定 ({a_t}) 是零均值不相关的白噪声，满足 ({rm E}(a_t|mathcal{F}_{t-1})=0) ，但并不是独立序列。

波动率模型的主要问题就是对 (sigma_t^2) 建模，这种模型叫做条件异方差模型。将收益率 (r_t) 分解后，有

[a_t=r_t-{rm E}(r_t|mathcal{F}_{t-1}) ,
]

称 ({a_t}) 为资产收益率 ({r_t}) 在 (t) 时刻的新息。(sigma_t^2) 的模型称为 ({r_t}) 的波动率方程。

({rm ARCH}) 模型引入

自回归条件异方差模型，简称为 ({rm ARCH}) 模型。这是我们将波动率定义为条件标准差之后，第一次提出的波动率的理论模型。

我们通常意义上考虑的异方差问题，是指在一个静态模型中，随机误差项的方差取决于模型中的解释变量。然而在时间序列模型中，我们还需要对异方差的动态形式加以考虑。即使不存在通常意义上的异方差，随机误差项的方差还可能取决于时间序列在以前时期的波动程度。我们用条件方差来理解这一问题。

考虑一个简单静态模型

[y_t=beta_0+beta_1x_t+u_t ,
]

如果该模型满足时间序列模型假设 TS.1-TS.5，则显然 OLS 估计量仍然是 BLUE 的。这里的同方差假设指的是 ({rm Var}(u_t|X)) 是一个常数。但如果改变条件，还可能存在其他形式的异方差：

[{rm Var}(u_t|X,u_{t-1},u_{t-2},cdots)={rm Var}(u_t|X,u_{t-1})triangleqalpha_0+alpha_1u_{t-1}^2 ,
]

这就是一阶自回归条件异方差模型。

一般地，我们省略解释变量条件，将 ({rm ARCH}(1)) 模型写为

[{rm Var}(u_t|u_{t-1},u_{t-2},cdots)={rm Var}(u_t|u_{t-1})triangleqalpha_0+alpha_1u_{t-1}^2 .
]

({rm ARCH}(1)) 模型

建立 ({rm ARCH}) 模型考虑了两个基本思想：

(1) 随机扰动序列 (u_t) 是前后不相关的，但不独立的。

(2) 序列 (u_t) 的不独立性可以描述为基于历史信息的条件方差 ({rm Var}(u_t|mathcal{F}_{t-1})) 可以用二次项序列 (u_t^2) 的滞后项的线性组合表示。

其中 (mathcal{F}_{t-1}) 指的是 (t-1) 期的全部信息。

在 Wooldridge 的《计量经济学导论》中，将 ({rm ARCH}(1)) 模型近似设定为

[u_t^2=alpha_0+alpha_1u_{t-1}^2+v_t , v_tsim{rm WN}(0,,sigma_0^2) .
]

由于条件方差恒正，因此在这个模型中，只有当 (alpha_0>0) 且 (alpha_1>0) 时该模型是有具有动态意义的。

更加广为使用的 ({rm ARCH}(1)) 模型是 Tsay 在《金融时间序列分析》中给出的模型设定：

[u_t=sigma_tvarepsilon_t ,
]

[sigma_t^2=alpha_0+alpha_1u_{t-1}^2 ,
]

其中 ({varepsilon_t}) 是零均值标准方差的独立同分布白噪声 ({rm WN}(0,,1))

首先求解条件方差：

[{rm Var}(u_t|u_{t-1})={rm E}(u_t^2|u_{t-1})=sigma_t^2{rm E}(varepsilon_t^2)=sigma_t^2
]

接着求解无条件方差：

[begin{aligned}
{rm Var}(u_t)&={rm E}(u_t^2)={rm E}left[{rm E}(u_t^2|u_{t-1})right]={rm E}left[sigma^2_t{rm E}(varepsilon_t^2)right] \
&={rm E}(sigma_t^2)={rm E}(alpha_0+alpha_1u_{t-1}^2)=alpha_0+alpha_1{rm E}(u_{t-1}^2) .
end{aligned}
]

由于 ({u_t}) 是一个零均值平稳序列，有 ({rm E}(u_t)=0) 和 ({rm Var}(u_t)={rm Var}(u_{t-1})) ，因此

[{rm Var}(u_t)=alpha_0+alpha_1{rm Var}(u_{t-1})=alpha_0+alpha_1{rm Var}(u_{t}) ,
]

进而有

[{rm Var}(u_t)=frac{alpha_0}{1-alpha_1} .
]

这里要求 (0<alpha_1<1)

({rm ARCH}(m)) 模型

进而我们将模型扩展为一般的 ({rm ARCH}(m)) 模型，首先给出模型设定：

[u_t=sigma_tvarepsilon_t ,
]

[sigma_t^2=alpha_0+alpha_1u_{t-1}^2+cdots+alpha_mu_{t-m}^2
]

其中 ({varepsilon_t}) 是零均值标准方差的独立同分布白噪声 ({rm WN}(0,,1)) ，并且 (alpha_0>0 , alpha_jgeq0 , j=1,2,cdots,m) 。一般假设为标准正态分布或是标准化的 (t) 分布。

另外 ({alpha_j}) 还需要满足使得 ({rm Var}(u_t)) 有限的条件，类似于 ({rm AR}(p)) 序列的平稳性的特征根条件，并且

[sum_{j=1}^malpha_j<1 .
]

模型设定中的第二个方程被称为波动率方程。由于该方程的右侧仅出现了截止到 (t-1) 时刻的确定性函数而没有新增的随机扰动，所以称 ({rm ARCH}) 模型为确定性的波动率模型。

设 (mathcal{F}_{t-1}) 表示 (t-1) 期的全部历史信息，由 ({varepsilon_t}) 的独立性知 ({varepsilon_t}) 和 (mathcal{F}_{t-1}) 独立。

类似于 ({rm ARCH}(1)) 模型的无条件方差，可以利用全期望公式计算得到 ({rm ARCH}(m)) 模型的无条件方差如下：

首先计算条件方差

[begin{aligned}
{rm Var}(u_t|u_{t-1},u_{t-2},cdots)&=
{rm E}(u_t^2|u_{t-1},u_{t-2},cdots) \
&=sigma_t^2{rm E}(varepsilon_t^2|u_{t-1},u_{t-2},cdots) \
&=sigma_t^2
end{aligned}
]

进而计算无条件方差

[begin{aligned}
{rm Var}(u_t)={rm E}(u_t^2)&=
{rm E}left[{rm E}(u_t^2|u_{t-1},u_{t-2},cdots)right] \
&={rm E}(sigma_t^2) \
&={rm E}(alpha_0+alpha_1u_{t-1}^2+cdots+alpha_mu_{t-m}^2) \
&=alpha_0+alpha_1{rm E}(u_{t-1}^2)+cdots+alpha_m{rm E}(u_{t-m}^2) .
end{aligned}
]

由 ({u_t}) 的平稳性 ({rm E}(u_t^2)={rm E}(u_{t-1}^2)=cdots={rm E}(u_{t-m}^2)) 可以解得

[{rm Var}(u_t)={rm E}(u_t^2)=frac{alpha_0}{1-displaystylesum_{j=1}^malpha_j} .
]

以上就是常用的 ({rm ARCH}) 模型的性质。但我们也会发现 ({rm ARCH}(m)) 模型的具有如下缺点：模型中引入的都是扰动项 (u_t) 的平方项，因此恒为正值，没有考虑正、负扰动对于波动率的不对称影响。此外，({rm ARCH}) 模型不能提供更多信息来帮助理解方程的来源，仅仅提供一种方法来描述条件方差是如何变化的。

({rm GARCH}) 模型引入和模型设定

在之前的介绍中，({rm ARCH}) 模型用来描述波动率能得到很好的效果，但实际建模时可能需要较高的阶数。提出了ARCH模型的一种重要推广模型，称为 ({rm GARCH}) 模型。

Tsay 在《金融时间序列分析》一书中引入了对数收益率 (r_t) 的概念。事实上，对于一个对数收益率 (r_t) 的新息序列

[u_t=r_t-{rm E}(r_t|mathcal{F}_{t-1}) ,
]

常常用 ({rm GARCH}) 模型来刻画 ({u_t}) 序列的性质。下面给出一般情况下 ({rm GARCH}(m,,s)) 的模型设定：

[u_t=sigma_tvarepsilon_t ,
]

[sigma_t^2=alpha_0+sum_{i=1}^malpha_iu_{t-i}^2+sum_{j=1}^sbeta_jsigma_{t-j}^2 ,
]

其中，({varepsilon_t}) 为零均值单位方差的独立同分布白噪声序列，(alpha_0>0 , alpha_igeq0 , beta_jgeq0) ，并且

[0<sum_{i=1}^malpha_i+sum_{j=1}^sbeta_j<1
]

这个条件用来保证满足模型的的 (u_t) 无条件方差有限且不变，而条件方差 (sigma_t^2) 可以随时间 (t) 的变化而变化。

({rm GARCH}(1,,1)) 模型

下面以最简单的 ({rm GARCH}(1,,1)) 模型为例研究 ({rm GARCH}) 模型的性质。依然定义 (mathcal{F}_{t-1}) 表示截止到 (t-1) 时刻的 (u_{t-i}) 和 (sigma_{t-j}) 所包含的全部历史信息。首先写出模型设定：

[u_t=sigma_tvarepsilon_t , varepsilon_tsim{rm i.i.d.},{rm WN}(0,,1) ,
]

[sigma_t^2=alpha_0+alpha_1u_{t-1}^2+beta_1sigma_{t-1}^2 ,
]

计算出条件期望：

[{rm E}(u_t|mathcal{F}_{t-1})={rm E}(sigma_tvarepsilon_t|mathcal{F}_{t-1})=sigma_t{rm E}(varepsilon_t|mathcal{F}_{t-1})=0 .
]

这里利用了 (sigma_tinmathcal{F}_{t-1}) 和 (varepsilon_t) 与 (mathcal{F}) 独立。
进而计算无条件期望

[{rm E}(u_t)={rm E}[{rm E}(u_t|mathcal{F}_{t-1})]=0 .
]

即 ({rm GARCH}) 模型的新息 (u_t) 的无条件期望为零。
最后利用全期望公式计算无条件方差，假设 ({u_t}) 序列存在严平稳解，则有

[begin{aligned}
{rm Var}(u_t)={rm E}(u_t^2)&={rm E}left[{rm E}(u_t^2|mathcal{F}_{t-1})right]={rm E}left[{rm E}(sigma_t^2varepsilon_t^2|mathcal{F}_{t-1})right] \
\
&={rm E}left[sigma_t^2{rm E}(varepsilon_t^2|mathcal{F}_{t-1})right]={rm E}left[sigma_t^2{rm E}(varepsilon_t^2)right] \
\
&={rm E}left[sigma_t^2right]={rm E}left[alpha_0+alpha_1u_{t-1}^2+beta_1sigma_{t-1}^2right] \
\
&=alpha_0+alpha_1{rm E}(u_{t-1}^2)+beta_1{rm E}(sigma_{t-1}^2) \
\
&=alpha_0+(alpha_1+beta_1){rm E}(u_{t-1}^2) .
end{aligned}
]

由 ({rm E}(u_t^2)={rm E}(u_{t-1}^2)) 解得

[{rm Var}(u_t)={rm E}(u_t^2)=frac{alpha_0}{1-alpha_1-beta_1} .
]

({rm GARCH}(1,,1)) 预测波动率示例

首先写出利用截止到 (h) 时刻的观测值作一步预测的波动率模型：

[sigma_{h+1}^2=alpha_0+alpha_1u_{h}^2+beta_1sigma_h^2inmathcal{F}_h .
]

因此有数学期望

[sigma_h^2(1)={rm E}(sigma^2_{h+1}|mathcal{F}_h)=sigma_{h+1}^2=alpha_0+alpha_1u_{h}^2+beta_1sigma_h^2 .
]

这说明对未来波动率的一步预测可以利用波动率模型直接给出。

继续计算两步预测：
利用 (u_t=sigma_tvarepsilon_t) 化简 (sigma_{h+2}^2) :

[begin{aligned}
sigma_{h+2}^2&=alpha_0+alpha_1u_{h+1}^2+beta_1sigma_{h+1}^2 \
\
&=alpha_0+alpha_1sigma_{h+1}^2varepsilon_{j+1}^2+beta_1sigma_{h+1}^2 \
\
&=alpha_0+(alpha_1varepsilon_{h+1}^2+beta_1)sigma_{h+1}^2 .
end{aligned}
]

[begin{aligned}
sigma_h^2(2)&={rm E}(sigma^2_{h+2}|mathcal{F}_h) \
\
&={rm E}left[alpha_0+(alpha_1varepsilon_{h+1}^2+beta_1)sigma_{h+1}^2|mathcal{F}_hright] \
\
&=alpha_0+{rm E}left[alpha_1varepsilon_{h+1}^2+beta_1|mathcal{F}_hright]sigma_h^2(1) \
\
&=alpha_0+left(alpha_1+beta_1right)sigma_h^2(1) .
end{aligned}
]

类似地，可以求得递推预测公式：

[sigma_h^2(l)=alpha_0+left(alpha_1+beta_1right)sigma_h^2(l-1) ,
]

迭代计算得

[sigma_h^2(l)=frac{alpha_0left[1-(alpha_1+beta_1)^{l-1}right]}{1-(alpha_1+beta_1)}+(alpha_1+beta_1)^{l-1}sigma_h^2(1) ,
]

当 (ltoinfty) 时，有

[sigma_h^2(l)tofrac{alpha_0}{1-(alpha_1+beta_1)}={rm Var}(u_t) .
]

即波动率的多步条件方差预测趋于的 (u_t) 的无条件方差。

和 ({rm ARCH}) 模型类似，使用 ({rm GARCH}) 模型对于收益率的正负不对称性仍然无法反映。

程序员灯塔
转载请注明原文链接：计量经济学导论11：波动率模型