• 微信公众号:美女很有趣。 工作之余,放松一下,关注即送10G+美女照片!

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

互联网 diligentman 4个月前 (02-16) 31次浏览

原文链接:http://tecdat.cn/?p=9706

总览

在这里,我们放宽了流行的线性方法的假设。有时线性假设只是一个很差的近似值。有许多方法可以解决此问题,其中一些方法可以通过使用正则化方法降低模型复杂性来  解决  。但是,这些技术仍然使用线性模型,到目前为止只能进行改进。本文本专注于线性模型的扩展

  • _多项式回归_    这是对数据提供非线性拟合的简单方法。
  • _阶跃函数_  将变量的范围划分为  _K个_  不同的区域,以生成定性变量。这具有拟合分段常数函数的效果。
  • _回归样条_  比多项式和阶跃函数更灵活,并且实际上是两者的扩展。
  • _局部样条曲线_  类似于回归样条曲线,但是允许区域重叠,并且可以平滑地重叠。
  • _平滑样条曲线_  也类似于回归样条曲线,但是它们最小化平滑度惩罚的残差平方和准则 。
  • _广义加性模型_  允许扩展上述方法以处理多个预测变量。

多项式回归

这是扩展线性模型的最传统方法。随着我们增加 多项式的项,多项式回归使我们能够生成非线性的曲线,同时仍使用最小二乘法估计系数。

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

逐步回归

它经常用于生物统计学和流行病学中。

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

回归样条

回归样条是 扩展多项式和逐步回归技术的许多_基本_函数之一  。事实上。多项式和逐步回归函数只是_基_  函数的特定情况  。

这是分段三次拟合的示例(左上图)。

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

为了解决此问题,更好的解决方案是采用约束,使拟合曲线必须连续。

选择结的位置和数量

一种选择是在我们认为变化最快的地方放置更多的结,而在更稳定的地方放置更少的结。但是在实践中,通常以统一的方式放置结。

要清楚的是,在这种情况下,实际上有5个结,包括边界结。

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

那么我们应该使用多少个结?一个简单的选择是尝试许多个结,然后看哪个会产生最好的曲线。但是,更客观的方法是使用交叉验证。

与多项式回归相比,样条曲线可以显示出更稳定的效果。

平滑样条线

我们讨论了回归样条曲线,该样条曲线是通过指定一组结,生成一系列基函数,然后使用最小二乘法估计样条系数而创建的。平滑样条曲线是创建样条曲线的另一种方法。让我们回想一下,我们的目标是找到一些非常适合观察到的数据的函数,即最大限度地减少RSS。但是,如果对我们的函数没有任何限制,我们可以通过选择精确内插所有数据的函数来使RSS设为零。

选择平滑参数Lambda

同样,我们求助于交叉验证。事实证明,我们实际上可以非常有效地计算LOOCV,以平滑样条曲线,回归样条曲线和其他任意基函数。

平滑样条线通常比回归样条线更可取,因为它们通常会创建更简单的模型并具有可比的拟合度。

局部回归

局部回归涉及仅使用附近的训练观测值来计算目标点_x_ 0 处的拟合度  。

可以通过各种方式执行局部回归,尤其是在涉及拟合_p_  线性回归模型的多变量方案中尤为明显  ,因此某些变量可以全局拟合,而某些局部拟合。

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

广义加性模型

GAM模型提供了一个通用框架,可通过允许每个变量的非线性函数扩展线性模型,同时保持可加性。

具有平滑样条的GAM并不是那么简单,因为不能使用最小二乘。取而代之的 是使用一种称为_反向拟合_的方法  。

GAM的优缺点

优点

  • GAM允许将非线性函数拟合到每个预测变量,以便我们可以自动对标准线性回归会遗漏的非线性关系进行建模。我们不需要对每个变量分别尝试许多不同的转换。
  • 非线性拟合可以潜在地对因变量_Y_做出更准确的预测  。
  • 因为模型是可加的,所以我们仍然可以检查每个预测变量对_Y_的影响,   同时保持其他变量不变。

缺点

  • 主要局限性在于该模型仅限于累加模型,因此可能会错过重要的交互作用。

范例

多项式回归和阶跃函数

library(ISLR)
attach(Wage)

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

我们可以轻松地使用来拟合多项式函数,然后指定多项式的变量和次数。该函数返回正交多项式的矩阵,这意味着每列是变量的变量的线性组合  age,  age^2,  age^3,和  age^4。如果要直接获取变量,可以指定  raw=TRUE,但这不会影响预测结果。它可用于检查所需的系数估计。

fit = lm(wage~poly(age, 4), data=Wage)
kable(coef(summary(fit)))

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

现在让我们创建一个ages 我们要预测的向量。最后,我们将要绘制数据和拟合的4次多项式。

ageLims <- range(age)
age.grid <- seq(from=ageLims[1], to=ageLims[2])

pred <- predict(fit, newdata = list(age = age.grid),
                se=TRUE) 

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

plot(age,wage,xlim=ageLims ,cex=.5,col="darkgrey")
 lines(age.grid,pred$fit,lwd=2,col="blue")
matlines(age.grid,se.bands,lwd=2,col="blue",lty=3)

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析​在这个简单的示例中,我们可以使用ANOVA检验 。

 ## Analysis of Variance Table
## 
## Model 1: wage ~ age
## Model 2: wage ~ poly(age, 2)
## Model 3: wage ~ poly(age, 3)
## Model 4: wage ~ poly(age, 4)
## Model 5: wage ~ poly(age, 5)
##   Res.Df     RSS Df Sum of Sq      F Pr(>F)    
## 1   2998 5022216                               
## 2   2997 4793430  1    228786 143.59 <2e-16 ***
## 3   2996 4777674  1     15756   9.89 0.0017 ** 
## 4   2995 4771604  1      6070   3.81 0.0510 .  
## 5   2994 4770322  1      1283   0.80 0.3697    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

我们看到,_M_1 与二次模型  相比,p值  _M_2 实质上为零,这表明线性拟合是不够的。 因此,我们可以得出结论,二次方或三次模型可能更适合于此数据,并且偏向于简单模型。

我们也可以使用交叉验证来选择多项式次数。

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

在这里,我们实际上看到的最小交叉验证误差是针对4次多项式的,但是选择3次或2次模型并不会造成太大损失。接下来,我们考虑预测个人是否每年收入超过25万。

但是,概率的置信区间是不合理的,因为我们最终得到了一些负概率。为了生成置信区间,更有意义的是转换对  _数_  预测。

绘制:

plot(age,I(wage>250),xlim=ageLims ,type="n",ylim=c(0,.2))
lines(age.grid,pfit,lwd=2, col="blue")
matlines(age.grid,se.bands,lwd=1,col="blue",lty=3)

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

逐步回归函数

在这里,我们需要拆分数据。

table(cut(age, 4)) 

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

## 
## (17.9,33.5]   (33.5,49]   (49,64.5] (64.5,80.1] 
##         750        1399         779          72

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

fit <- lm(wage~cut(age, 4), data=Wage)
coef(summary(fit))

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

##                        Estimate Std. Error t value  Pr(>|t|)
## (Intercept)              94.158      1.476  63.790 0.000e+00
## cut(age, 4)(33.5,49]     24.053      1.829  13.148 1.982e-38
## cut(age, 4)(49,64.5]     23.665      2.068  11.443 1.041e-29
## cut(age, 4)(64.5,80.1]    7.641      4.987   1.532 1.256e-01

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

splines 样条函数

在这里,我们将使用三次样条。

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

由于我们使用的是三个结的三次样条,因此生成的样条具有六个基函数。

 ## [1] 3000    6
dim(bs(age, df=6))

## [1] 3000    6
##   25%   50%   75% 
## 33.75 42.00 51.00 

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

拟合样条曲线。

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

我们也可以拟合平滑样条。在这里,我们拟合具有16个自由度的样条曲线,然后通过交叉验证选择样条曲线,从而产生6.8个自由度。

 fit2$df

## [1] 6.795
lines(fit, col='red', lwd=2)
lines(fit2, col='blue', lwd=1)
legend('topright', legend=c('16 DF', '6.8 DF'),
       col=c('red','blue'), lty=1, lwd=2, cex=0.8) 

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

局部回归

执行局部回归。

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

GAMs

现在,我们使用GAM通过年份,年龄和受教育程度的样条来预测工资。由于这只是具有多个基本函数的线性回归模型,因此我们仅使用  lm() 函数。

为了拟合更复杂的样条曲线 ,我们需要使用平滑样条曲线。

绘制这两个模型

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

year 是线性的。我们可以创建一个新模型,然后使用ANOVA检验 。

 ## Analysis of Variance Table
## 
## Model 1: wage ~ ns(age, 5) + education
## Model 2: wage ~ year + s(age, 5) + education
## Model 3: wage ~ s(year, 4) + s(age, 5) + education
##   Res.Df     RSS Df Sum of Sq    F  Pr(>F)    
## 1   2990 3712881                              
## 2   2989 3693842  1     19040 15.4 8.9e-05 ***
## 3   2986 3689770  3      4071  1.1    0.35    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

似乎添加线性year 成分要比不添加线性  成分的GAM好得多。

 ## 
## Deviance Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -119.43  -19.70   -3.33   14.17  213.48 
## 
## (Dispersion Parameter for gaussian family taken to be 1236)
## 
##     Null Deviance: 5222086 on 2999 degrees of freedom
## Residual Deviance: 3689770 on 2986 degrees of freedom
## AIC: 29888 
## 
## Number of Local Scoring Iterations: 2 
## 
## Anova for Parametric Effects
##              Df  Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)    
## s(year, 4)    1   27162   27162      22 2.9e-06 ***
## s(age, 5)     1  195338  195338     158 < 2e-16 ***
## education     4 1069726  267432     216 < 2e-16 ***
## Residuals  2986 3689770    1236                    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Anova for Nonparametric Effects
##             Npar Df Npar F  Pr(F)    
## (Intercept)                          
## s(year, 4)        3    1.1   0.35    
## s(age, 5)         4   32.4 <2e-16 ***
## education                            
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

在具有非线性关系的模型中,   我们可以再次确认year 对模型没有贡献。

接下来,我们 将局部回归拟合GAM  。

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

在调用GAM之前,我们还可以使用局部回归来创建交互项。

我们可以 绘制结果曲面图  。

R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析


R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析R语言里的非线性模型:多项式回归、局部样条、平滑样条、 广义相加模型GAM分析

参考文献 

1.R语言多元Logistic逻辑回归 应用案例

2.面板平滑转移回归(PSTR)分析案例实现

3.matlab中的偏最小二乘回归(PLSR)和主成分回归(PCR)

4.R语言泊松Poisson回归模型分析案例

5.R语言回归中的Hosmer-Lemeshow拟合优度检验

6.r语言中对LASSO回归,Ridge岭回归和Elastic Net模型实现

7.在R语言中实现Logistic逻辑回归

8.python用线性回归预测股票价格

9.R语言如何在生存分析与Cox回归中计算IDI,NRI指标


喜欢 (0)