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最短Hamilton路径

开发技术 开发技术 3个月前 (03-10) 23次浏览

题目描述
给定一张 n 个点的带权无向图,点从 0~n-1 标号,求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式
第一行输入整数n。

接下来n行每行n个整数,其中第i行第j个整数表示点i到j的距离(记为a[i,j])。

对于任意的x,y,z,数据保证 a[x,x]=0,a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。

输出格式
输出一个整数,表示最短Hamilton路径的长度。

数据范围
1≤n≤20
0≤a[i,j]≤(10^{7})
输入样例:
5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5
1 3 3 5 0
输出样例:
18

解题思路:

该问题是一个经典的NP完全问题,暴力的话肯定会超时,我们考虑使用位运算和状态压缩降低算法复杂度

我们需要的是最优解,每次抉择只需要考虑当前状态以及当前位置而不需要考虑路径顺序

eg: 0,1,2,3

0 -> 1 -> 2 -> 3 20

0 -> 2 -> 1 -> 3 23

当前状态:0,1,2 当前位置3,故保存最优解20

得到状态转移方程:

f[i, j] = min{f[i – (i << j), k] + weight[k, j]}

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 20, M = 1 << 20;

int n;
int f[M][N], weight[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            cin >> weight[i][j];

    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[1][0] = 0;

    for (int i = 0; i < 1 << n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            if (i >> j & 1)
                for (int k = 0; k < n; k++)
                    if (i - (1 << j) >> k & 1)
                        f[i][j] = min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + weight[k][j]);

    cout << f[(1 << n) - 1][n - 1] << endl;
    return 0;
}

原题链接


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