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关于二进制表示和补码计算的来龙去脉,入门看了秒懂

开发技术 开发技术 2周前 (04-07) 8次浏览

目录
  • 一、前言
  • 二、从十进制到二进制
    • 1. 十进制
    • 2. 二进制
    • 3. 扩展到十六进制
    • 4. 扩展到任意进制
  • 三、从十进制加法到二进制加法
    • 1. 十进制加法
    • 2. 二进制加法
    • 3. 十六进制加法
  • 四、把负数计算转换成正数计算
    • 1. 原码
    • 2. 把负数计算变成正数计算
    • 3. 新问题:如何表示0?
    • 4. 补码的计算
  • 五、总结

一、前言

计算机最喜欢的数字就是 0 和 1,在 CPU 的世界中,它只认识这两个数字,即使是强大的操作系统,也都是由 0 和 1 组成的。

作为一名软件开发者,入门学习的内容可能就是认识这 2 个既简单、又强大的数字。但是大部分人,对于二进制、二进制计算、原码、反码以及补码的认识,仍处于机械的强制记忆阶段。尤其是对一些编码和计算,仍然处于模糊的认识阶段,例如:

  1. CPU 是如何表示负数的?

  2. 为什么补码可以用来表示负数?

  3. 一个 8 位的二进制数,最小值为什么是 -128,而不是 -127?

  4. CPU 中的加法器,为什么可以连同符号位一起运算?

这篇文章我们就来聊聊这个最最基础的内容,帮助你来理解二进制计算的相关内容,看完这篇文章之后,不仅知其然,更能知其所以然!

PS: 这里有点高调了,最终的所以然部分,应该涉及到数学证明这一层次了,本文并不会涉及到求证过程。

二、从十进制到二进制

1. 十进制

作为数学计算能力强大的中国,10 以内的加减法,应该是在幼儿园阶段就完成了。如果你不属于这个范围,说明你上的是假幼儿园。

我们来快速复习一下关于十进制运算的一些基本知识:

  1. 每一个数位上包括的数字为 0 到 9;

  2. 每一个数位上的数,是它右侧数位的 10 倍;

  3. 两个数相加时,相同数位上的数相加之和如果大于等于 10,就向前进 1 位,即:满十进一;

具体来看就是:

  1. 从右数第一个位数(个位)上的数字代表多少个 1;

  2. 从右数第二个位数(十位)上的数字代表多少个 10;

  3. 从右数第三个位数(百位)上的数字代表多少个 100;

  4. 从右数第四个位数(千位)上的数字代表多少个 1000;

十进制的数,可以使用后缀字母 D 来表示,也可以省略。例如:十进制的 1234 这个数字,个位上的数是 4, 十位上的数是 3, 百位上的数是 2,千位上的数是 1(一般是从最右侧的个位说起),每一个数位上的数比它右侧大十倍。
如下图:

关于二进制表示和补码计算的来龙去脉,入门看了秒懂

十进制数据,也称作基于十的表示法

2. 二进制

那么对于二进制呢?直接套用上面十进制的概念,然后把 10 换成 2 即可(目前先忽略符号位):

  1. 每一个数位上包括的数字为 0 和 1;

  2. 每一个数位上的数,是它右侧数位的 2 倍;

  3. 两个数相加时,相同数位上的数相加之和如果大于等于 2,就向前进 1 位,即:满二进一;

具体来看就是:

  1. 从右数第一个位数上的数字代表多少个 1;

  2. 从右数第二个位数上的数字代表多少个 2;

  3. 从右数第三个位数上的数字代表多少个 4;

  4. 从右数第四个位数上的数字代表多少个 8;

记住几个重点:二进制数中只包含 0 和 1 两个数字,在相加时满二进一

在十进制中,每一个数位我们给它进行了专门的命名(个位、十位、百位…),但是二进制没有类似的命名。

二进制的数,使用后缀字母 B 来表示,例如:二进制的 1111B 这个数字,用图来表示权重如下:

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换算成十进制数就是 15(1 * 8 + 1 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 15)。

在二进制中,每一位称为一个比特(bit),如果用 8 个 bit 来表示一个二进制数,最小值是 0000_00000,最大值是 1111_1111;

如果用 16 个 bit 来表示一个二进制数,最小值是 0000_0000_0000_0000,最大值是 1111_1111_1111_1111。(为了便于观察,每 4 个 bit 之间,加上了分隔符)

在早期的计算机中,8 位的处理器很常见,于是就给它一个专门的名字:字节(Byte)。16 位的二进制数就是 2 个字节,也称作:字(Word)

3. 扩展到十六进制

原理还是相同的:直接把十进制中的 10 换成 16 即可:

  1. 每一个数位上包括的数字为 0 到 9,A 到 F;

  2. 每一个数位上的数,是它右侧数位的 16 倍;

  3. 两个数相加时,相同数位上的数相加之和如果大于等于 16,就向前进 1 位,即:满十六进一;

具体来看就是:

  1. 从右数第一个位数上的数字代表多少个 1;

  2. 从右数第二个位数上的数字代表多少个 16;

  3. 从右数第三个位数上的数字代表多少个 256;

  4. 从右数第四个位数上的数字代表多少个 4096;

在十六进制中,需要十六个数字来表示 0 到 15 这些数字,0 到 9 比较好处理,但是从 10 到 15,我们就需要找一些记号来表示,于是人们就想到用 A,B,C,D,E,F 这几个字母来分别表示 10 到 15 这个 6 个数字。

十六进制数据,使用后缀字母 H 来表示,有些场合也可以使用前缀 0x 来表示,本质上没有区别。例如:十六进制数字 1A2BH(或者写作 0x1A2B),每一个数位上的权重如图:

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换算成十进制数就是 6699(1 * 4096 + 10 * 256 + 2 * 16 + 11 * 1 = 6699)。

4. 扩展到任意进制

原理仍然相同:直接把十进制中的 10 换成目标进制,例如 5 进制

  1. 每一个数位上包括的数字为 0 到 4;

  2. 每一个数位上的数,是它右侧数位的 5 倍;

  3. 两个数相加时,相同数位上的数相加之和如果大于等于 5,就向前进 1 位,即:满五进一;

具体来看就是:

  1. 从右数第一个位数上的数字代表多少个 1;

  2. 从右数第二个位数上的数字代表多少个 5;

  3. 从右数第三个位数上的数字代表多少个 25;

  4. 从右数第四个位数上的数字代表多少个 125;

再看一个图加深印象:

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三、从十进制加法到二进制加法

1. 十进制加法

这个就不必多说了,规则只有 2 条:

  1. 两个数,相同数位上的数字进行相加;

  2. 每一个数位上的相加结果,满十进一;

例如:

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个位上:4 + 8,结果是 12,但是十进制中没有 12 这个数字,因此向左侧的高位进1,个位就剩下:12 – 10 = 2。

十位上:7 + 2,再加上进位 1,结果是 10,但是十进制中没有 10 这个数字,因此向左侧的高位进1,十位变成:10 – 10 = 0。

百位上:1 加上进位 1,结果是 2。

2. 二进制加法

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第 0 位:0 + 0 结果为 0;

第 1 位:1 + 0 结果为 1;

第 2 位:1 + 1 结果为 2,但是二进制中没有 2 这个数字,因此需要向左侧的高位进 1,于是第 2 位上就剩下 2 – 2 = 0。

第 3 位:1 + 1 等于 2,再加上进位 1,结果就是 3,但是二进制中没有 3 这个数字,因此需要向左侧的高位进 1,于是第 3 位上就剩下 3 – 2 = 1。

第 4,5,6,7位计算均是如此。

3. 十六进制加法

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第 0 位:E + C,结果为 26,但是十六进制中没有 26 这个数字,因此需要向左侧的高位进 1,于是第 0 位就剩下 26 – 16 = A。

第 1 位:A + 1 等于 B,再加上进位 1,结果就是 C,十六机制中有这个数字

四、把负数计算转换成正数计算

1. 原码

原码(true form)是一种计算机中对数字的二进制定点表示方法。原码表示法在数值前面增加了一位符号位(即最高位为符号位):正数该位为0,负数该位为1(0有两种表示:+0和-0),其余位表示数值的大小。

例如,用 8 个 bit (8 位二进制数)来表示一个数,+11 的原码为 0000_1011,-11 的原码就是 1000_1011。

2. 把负数计算变成正数计算

我们都知道,CPU 中有加法器,好像从来没有听说过“减法器”。例如计算 5 + 8,转换成二进制来计算:

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再来计算一下减法:5 – 8,对于 CPU 来说,只会计算 5 + 8, 但是不会计算 5 – 8。

但是可以转换一下思路,把减法变成加法 5 + (-8),这样不就可以计算了吗?于是计算机先驱者就发明了反码:

  1. 正数的反码:保持原码不变;

  2. 负数的反码:原码中符号位不变,其余全部取反(-8 的原码是 1000_1000,反码就是:1111_0111);

于是 5 + (-8)的计算过程就是:

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此时,就完美解决了减法问题,那么乘法(多加几次)、除法(多减几次)问题也就跟着解决了。至于如何从数学的角度来证明,那就要问那些数学家了!

3. 新问题:如何表示0?

我们现在可以小结一下反码的表示范围(记住:第一位是符号位):

  1. 正数的表示范围:0000_0000 ~ 0111_1111,也就是十进制的 +0 ~ +127 这 128 个数;

  2. 负数的表示范围:1000_0000 ~ 1111_1111,也就是十进制的 -127 ~ -0 这 128 个数;

有没有发现问题:怎么存在 +0 和 -0 这两个数?而且他们的编码还不一样:+0 对应 0000_0000,-0 对应 1111_1111。

CPU 虽然就是一个傻瓜,让它干啥就干啥,但是 CPU 最不能容忍的就是不确定性!我们都知道 +0 == -0 == 0,它们是同一个数字,但是在二进制编码中,居然有两个编码来表示同一个数。

伟大的计算机先驱者又做了这样一个决定正数保持不变,负数整体减一

也就是说:符号位不变,值整体加1,如下:

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这样就成功解决了 -0、+0 的问题!

现在 一个 8 位的二进制就可以表示的范围是:-128 ~ 127,并且中间没有任何重复、遗漏的数字。

既然每一个二进制表示的值发生了变化,那么继续称之为反码不准确了,此时给它们一个新的称呼:补码,也就是说:上图就变成了这样:

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小结一下补码的定义:

  1. 正数的补码:保持原码不变;

  2. 负数的补码:原码中符号位不变,其余先全部取反,然后再加1(例如:-8 的原码是 1000_1000,补码就是 1111_1000);

此时,我们仅仅是解决了二级制编码的表示问题,那么:补码能直接参与运算吗?运算结果会出现什么问题?

4. 补码的计算

我们先看一下这个问题:假设现在时间是 1 点整,但是你的手表进水了,它显示的是 3 点整,现在你怎么把时间调整到 1 点的位置?

方法1:把时针逆时针拨动 2 个小时(3 – 2 = 1);

方法2:把时针顺时针拨动 9 个小时到 12 点,然后再拨动 1 个小时(3 + 10 = 1);

对于时钟表盘来说,每 12 个小时为一圈,可以认为:-2 == 10,-1 = 11, -3 = 9,同样的:-2 == 10, -2 == 22, -2 == 34,…

可以看到规律是:-2、10、22、34 这些数字对 12 取模都得到同一个数(取正数),在数学上,两个整数除以“同一个整数”,若得相同余数,则这两个整数同余

表盘中的 12 就是这个“同一个整数”,可以看到这是一个可“溢出”的系统,-2、10、22、34 这几个数在表盘上表示的是一样的数,所以说这几个整数同余

也就是说:在计算的时候,可以用 10、22、34 这几个数字来替换 -2,替换之后的计算结果是相同的

那么对于一个 8 位 的二进制数来说,最多只有 8 位,在计算过程中,如果最高位产生了进位,就会被丢弃,所以它也是一个可“溢出”的系统。那么这里的“同一个整数”是多少呢?

从前面的内容中可以看到,使用补码表示的 8 位二进制数表示的范围是 -128 ~ 127,一共是 256 个数,所以如果对 256 取模,得到相同的余数,那么这些数就是同余数

例如:-2 和 254 对 256 取模,得到相同的余数,因此它俩就是同余数,那么在计算的时候,就可以用 254 来代替 -2

那么我们通过计算 3 + (-2) 来验证一下。

(1) 利用同余数来计算

3 + (-2) == 3 + 254 = 257

257 超过了最大的表示范围,所以溢出,结果就是 257 对 256 取模,结果为 1。

(2) 直接用补码来计算

3 的补码是 0000_0011,-2 的补码是 1111_1110,在计算的时候,把符号位也参与运算:

关于二进制表示和补码计算的来龙去脉,入门看了秒懂

结果也是 1,也就是说:

在二进制计算中,使用补码来计算,“天然”就满足了“同余定理”。

细心的读者可能已经发现了:-2 的二进制补码表示,与 254 的二进制自然表示,它们的形式是一样的!

这种“天然”性,是巧合?还是计算机前辈的设计结果?!

五、总结

这篇文章,我们探讨了计算机系统的软件基石:二进制系统,主要的目的是帮助你理解二进制的表示、计算方式。

希望你看完之后能够豁然开朗!如果对您的理解有帮助的话,请转发给身边的技术小伙伴,共同成长!

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