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Python学习笔记-PuLP库(3)线性规划实例

开发技术 开发技术 2周前 (04-30) 8次浏览

本节以一个实际数学建模案例,讲解 PuLP 求解线性规划问题的建模与编程。
  

1、问题描述

  某厂生产甲乙两种饮料,每百箱甲饮料需用原料6千克、工人10名,获利10万元;每百箱乙饮料需用原料5千克、工人20名,获利9万元。
  今工厂共有原料60千克、工人150名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过8百箱。
  (1)问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大?
  (2)若投资0.8万元可增加原料1千克,是否应作这项投资?投资多少合理?
  (3)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,是否应否改变生产计划?
  (4)若每百箱甲饮料获利可增加1万元,若投资0.8万元可增加原料1千克,是否应作这项投资?投资多少合理?
  (5)若不允许散箱(按整百箱生产),如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大?

2、用PuLP 库求解线性规划

2.1 问题 1

(1)数学建模

问题建模:
  决策变量:
    x1:甲饮料产量(单位:百箱)
    x2:乙饮料产量(单位:百箱)
  目标函数:
    max fx = 10*x1 + 9*x2
  约束条件:
    6*x1 + 5*x2 <= 60
    10*x1 + 20*x2 <= 150
  取值范围:
    给定条件:x1, x2 >= 0,x1 <= 8
    推导条件:由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知:0<=x1<=15;0<=x2<=7.5
    因此,0 <= x1<=8,0 <= x2<=7.5

(2)Python 编程

    ProbLP1 = pulp.LpProblem("ProbLP1", sense=pulp.LpMaximize)    # 定义问题 1,求最大值
    x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Continuous')  # 定义 x1
    x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Continuous')  # 定义 x2
    ProbLP1 += (10*x1 + 9*x2)  # 设置目标函数 f(x)
    ProbLP1 += (6*x1 + 5*x2 <= 60)  # 不等式约束
    ProbLP1 += (10*x1 + 20*x2 <= 150)  # 不等式约束
    ProbLP1.solve()
    print(ProbLP1.name)  # 输出求解状态
    print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP1.status])  # 输出求解状态
    for v in ProbLP1.variables():
        print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
    print("F1(x)=", pulp.value(ProbLP1.objective))  # 输出最优解的目标函数值

(3)运行结果

ProbLP1
x1=6.4285714
x2=4.2857143
F1(X)=102.8571427

2.2 问题 2

(1)数学建模

问题建模:
  决策变量:
    x1:甲饮料产量(单位:百箱)
    x2:乙饮料产量(单位:百箱)
    x3:增加投资(单位:万元)
  目标函数:
    max fx = 10*x1 + 9*x2 – x3
  约束条件:
    6*x1 + 5*x2 <= 60 + x3/0.8
    10*x1 + 20*x2 <= 150
  取值范围:
    给定条件:x1, x2 >= 0,x1 <= 8
    推导条件:由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知:0<=x1<=15;0<=x2<=7.5
    因此,0 <= x1<=8,0 <= x2<=7.5

(2)Python 编程

    ProbLP2 = pulp.LpProblem("ProbLP2", sense=pulp.LpMaximize)    # 定义问题 2,求最大值
    x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Continuous')  # 定义 x1
    x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Continuous')  # 定义 x2
    x3 = pulp.LpVariable('x3', cat='Continuous')  # 定义 x3
    ProbLP2 += (10*x1 + 9*x2 - x3)  # 设置目标函数 f(x)
    ProbLP2 += (6*x1 + 5*x2 - 1.25*x3 <= 60)  # 不等式约束
    ProbLP2 += (10*x1 + 20*x2 <= 150)  # 不等式约束
    ProbLP2.solve()
    print(ProbLP2.name)  # 输出求解状态
    print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP2.status])  # 输出求解状态
    for v in ProbLP2.variables():
        print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
    print("F2(x)=", pulp.value(ProbLP2.objective))  # 输出最优解的目标函数值

(3)运行结果

ProbLP2
x1=8.0
x2=3.5
x3=4.4
F2(X)=107.1

2.3 问题 3

(1)数学建模

问题建模:
  决策变量:
    x1:甲饮料产量(单位:百箱)
    x2:乙饮料产量(单位:百箱)
  目标函数:
    max fx = 11*x1 + 9*x2
  约束条件:
    6*x1 + 5*x2 <= 60
    10*x1 + 20*x2 <= 150
  取值范围:
    给定条件:x1, x2 >= 0,x1 <= 8
    推导条件:由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知:0<=x1<=15;0<=x2<=7.5
    因此,0 <= x1<=8,0 <= x2<=7.5

(2)Python 编程

    ProbLP3 = pulp.LpProblem("ProbLP3", sense=pulp.LpMaximize)  # 定义问题 3,求最大值
    x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Continuous')  # 定义 x1
    x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Continuous')  # 定义 x2
    ProbLP3 += (11 * x1 + 9 * x2)  # 设置目标函数 f(x)
    ProbLP3 += (6 * x1 + 5 * x2 <= 60)  # 不等式约束
    ProbLP3 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150)  # 不等式约束
    ProbLP3.solve()
    print(ProbLP3.name)  # 输出求解状态
    print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP3.status])  # 输出求解状态
    for v in ProbLP3.variables():
        print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
    print("F3(x) =", pulp.value(ProbLP3.objective))  # 输出最优解的目标函数值

(3)运行结果

ProbLP3
x1=8.0
x2=2.4
F3(X) = 109.6

2.4 问题 4

(1)数学建模

问题建模:
  决策变量:
    x1:甲饮料产量(单位:百箱)
    x2:乙饮料产量(单位:百箱)
    x3:增加投资(单位:万元)
  目标函数:
    max fx = 11*x1 + 9*x2 – x3
  约束条件:
    6*x1 + 5*x2 <= 60 + x3/0.8
    10*x1 + 20*x2 <= 150
  取值范围:
    给定条件:x1, x2 >= 0,x1 <= 8
    推导条件:由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知:0<=x1<=15;0<=x2<=7.5
    因此,0 <= x1<=8,0 <= x2<=7.5

(2)Python 编程

    ProbLP4 = pulp.LpProblem("ProbLP4", sense=pulp.LpMaximize)  # 定义问题 2,求最大值
    x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Continuous')  # 定义 x1
    x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Continuous')  # 定义 x2
    x3 = pulp.LpVariable('x3', cat='Continuous')  # 定义 x3
    ProbLP4 += (11 * x1 + 9 * x2 - x3)  # 设置目标函数 f(x)
    ProbLP4 += (6 * x1 + 5 * x2 - 1.25 * x3 <= 60)  # 不等式约束
    ProbLP4 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150)  # 不等式约束
    ProbLP4.solve()
    print(ProbLP4.name)  # 输出求解状态
    print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP4.status])  # 输出求解状态
    for v in ProbLP4.variables():
        print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
    print("F4(x) = ", pulp.value(ProbLP4.objective))  # 输出最优解的目标函数值

(3)运行结果

ProbLP4
x1=8.0
x2=3.5
x3=4.4
F4(X) = 115.1

2.5 问题 5:整数规划问题

(1)数学建模

问题建模:
  决策变量:
    x1:甲饮料产量,正整数(单位:百箱)
    x2:乙饮料产量,正整数(单位:百箱)
  目标函数:
    max fx = 10*x1 + 9*x2
  约束条件:
    6*x1 + 5*x2 <= 60
    10*x1 + 20*x2 <= 150
  取值范围:
    给定条件:x1, x2 >= 0,x1 <= 8,x1, x2 为整数
    推导条件:由 x1,x2>=0 和 10*x1+20*x2<=150 可知:0<=x1<=15;0<=x2<=7.5
    因此,0 <= x1<=8,0 <= x2<=7

说明:本题中要求饮料车辆为整百箱,即决策变量 x1,x2 为整数,因此是整数规划问题。PuLP提供了整数规划的

(2)Python 编程

    ProbLP5 = pulp.LpProblem("ProbLP5", sense=pulp.LpMaximize)  # 定义问题 1,求最大值
    x1 = pulp.LpVariable('x1', lowBound=0, upBound=8, cat='Integer')  # 定义 x1,变量类型:整数
    x2 = pulp.LpVariable('x2', lowBound=0, upBound=7.5, cat='Integer')  # 定义 x2,变量类型:整数
    ProbLP5 += (10 * x1 + 9 * x2)  # 设置目标函数 f(x)
    ProbLP5 += (6 * x1 + 5 * x2 <= 60)  # 不等式约束
    ProbLP5 += (10 * x1 + 20 * x2 <= 150)  # 不等式约束
    ProbLP5.solve()
    print(ProbLP5.name)  # 输出求解状态
    print("Status:", pulp.LpStatus[ProbLP5.status])  # 输出求解状态
    for v in ProbLP5.variables():
        print(v.name, "=", v.varValue)  # 输出每个变量的最优值
    print("F5(x) =", pulp.value(ProbLP5.objective))  # 输出最优解的目标函数值

(3)运行结果

ProbLP5
x1=8.0
x2=2.0
F5(X) = 98.0

版权说明:
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Copyright 2021 YouCans, XUPT
Crated:2021-04-30


程序员灯塔
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