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01背包问题

开发技术 开发技术 2周前 (05-03) 7次浏览

(N) 件物品和一个容量是 (V)的背包。每件物品只能使用一次。

(i)件物品的体积是 (vi),价值是 (wi)

求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数,(N)(V),用空格隔开,分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 (N) 行,每行两个整数 (vi),(w)i,用空格隔开,分别表示第 (i) 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数,表示最大价值。

数据范围

(0<N,V≤1000)

(0<vi,wi≤1000)

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例:

8

二维方法

  1. 状态f[i][j]定义:前 (i) 个物品,背包容量 (j) 下的最优解(最大价值):
  • 当前的状态依赖于之前的状态,可以理解为从初始状态f[0][0] = 0开始决策,有 (N) 件物品,则需要 (N) 次决 策,每一次对第 (i) 件物品的决策,状态f[i][j]不断由之前的状态更新而来。
    (2)当前背包容量不够(j < v[i]),没得选,因此前 (i) 个物品最优解即为前 (i−1) 个物品最优解:

    对应代码:f[i][j] = f[i - 1][j]
    (3)当前背包容量够,可以选,因此需要决策选与不选第 (i) 个物品:

    选:f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]
    不选:f[i][j] = f[i - 1][j]
    我们的决策是如何取到最大价值,因此以上两种情况取 max()
    代码如下:

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int v[MAXN];    // 体积
int w[MAXN];    // 价值 
int f[MAXN][MAXN];  // f[i][j], j体积下前i个物品的最大价值 

int main() 
{
    int n, m;   
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i++) 
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            //  当前背包容量装不进第i个物品,则价值等于前i-1个物品
            if(j < v[i]) 
                f[i][j] = f[i - 1][j];
            // 能装,需进行决策是否选择第i个物品
            else    
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
        }           

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

一维方法

将状态f[i][j]优化到一维f[j],实际上只需要做一个等价变形。

为什么可以这样变形呢?我们定义的状态f[i][j]可以求得任意合法的ij最优解,但题目只需要求得最终状态f[n][m],因此我们只需要一维的空间来更新状态。

(1)状态f[j]定义:(N) 件物品,背包容量j下的最优解。

(2)注意枚举背包容量j必须从m开始。

(3)为什么一维情况下枚举背包容量需要逆序?在二维情况下,状态f[i][j]是由上一轮i - 1的状态得来的,f[i][j]f[i - 1][j]是独立的。而优化到一维后,如果我们还是正序,则有f[较小体积]更新到f[较大体积],则有可能本应该用第i-1轮的状态却用的是第i轮的状态。

(4)例如,一维状态第i轮对体积为 (3) 的物品进行决策,则f[7]f[4]更新而来,这里的f[4]正确应该是f[i - 1][4],但从小到大枚举j这里的f[4]在第i轮计算却变成了f[i][4]。当逆序枚举背包容量j时,我们求f[7]同样由f[4]更新,但由于是逆序,这里的f[4]还没有在第i轮计算,所以此时实际计算的f[4]仍然是f[i - 1][4]

(5)简单来说,一维情况正序更新状态f[j]需要用到前面计算的状态已经被「污染」,逆序则不会有这样的问题。

状态转移方程为:f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]

for(int i = 1; i <= n; i++) 
    for(int j = m; j >= 0; j--)
    {
        if(j < v[i]) 
            f[i][j] = f[i - 1][j];  // 优化前
            f[j] = f[j];            // 优化后,该行自动成立,可省略。
        else    
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);  // 优化前
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);                   // 优化后
    }    

实际上,只有当枚举的背包的容量>= v[i]时才会更新状态,因此我们可以修改循环终止条件进一步优化。

for(int i = 1; i <= n; i++)
{
    for(int j = m; j >= v[i]; j--)  
        f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
} 

关于状态f[j]的补充说明
二维下的状态定义f[i][j]是前 (i) 件物品,背包容量 (j) 下的最大价值。一维下,少了前 (i) 件物品这个维度,我们的代码中决策到第 (i) 件物品(循环到第i轮),f[j]就是前i轮已经决策的物品且背包容量 (j) 下的最大价值。

因此当执行完循环结构后,由于已经决策了所有物品,f[j]就是所有物品背包容量 (j) 下的最大价值。即一维f[j]等价于二维f[n][j]

优化输入

我们注意到在处理数据时,我们是一个物品一个物品,一个一个体积的枚举。

因此我们可以不必开两个数组记录体积和价值,而是边输入边处理。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int f[MAXN];  // 

int main() 
{
    int n, m;   
    cin >> n >> m;

    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int v, w;
        cin >> v >> w;      // 边输入边处理
        for(int j = m; j >= v; j--)
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
    }

    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

原文地址


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