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Algorithm(4th) 1.5 union-find算法

开发技术 开发技术 1周前 (05-02) 6次浏览

问题描述

问题输入是一对整数对,每个整数都代表一个对象,一对整数”p,q“表示 ”p与q相连“(具有自反性,传递性,对称性,被归到一个等价类里),要求编写程序来筛除在输入时就已经在一个等价类里的整数对。这个算法可以在计算机网络连结方面发挥作用:每个整数相当于计算机,整数对相当于网络间的连结,我们的程序可以判断为了使p,q两个计算机连结,需不需要添加一个新的线路。

具体思想

1.根节点判断

我们可以通过一个“概念上”的森林来实现我们的程序。我们把union-find算法打包成一个类,在其中设置一个名为id的数组用来存放每个节点的下一个连结对象,这样可以通过接受一个数组的秩来不断访问它所连结的下一个对象,直至到一个秩和所存储对象节点号相同的节点(根节点)。而比较两个节点的根节点就可以判断他们是否连在同一个根节点上,进而判断出两个节点是否已经连结。
Algorithm(4th) 1.5 union-find算法

2.加权连结

如果判断两个节点没有连结到一个根节点,我们就对他们的根节点进行连结。这时就会产生一个问题:p去连q还是q去连p。这里我们采用加权的算法:引入一个数组sz(size)来记录每个节点作为根节点时树中的节点数,把它作为节点的权值。每次进行根节点连结时,我们总是把权值小的根节点连结到权值大的根节点上。这样的好处是可以极大地降低树的高度的增加速度(最大程度降速的方式是把树高度作为权值的加权连结,但经过路径压缩后,这种方式变得没有必要),从而降低查找根节点时的时间量级。在最坏的情况下,要连结的树的大小总是相等的,且都是2的幂,则把所有的N个节点合成一个树,这个树的高度是底数为2的N的对数。
致使查找要检索的高度也达到O(logN)。
Algorithm(4th) 1.5 union-find算法
PS:本图取自Algorithm(4th)中译版P146(原版P229)

实现代码

#include<iostream>
#include<vector>
#include<random>

using namespace std;

//WeightedQuickUnion(加权快速连结)
class WQU {
	vector<int> id;
	vector<int> sz;
	int count = 0;
	int numberOfSite = 0;
public:
	int find(int p);
	void Union(int p, int q);
	int get_count() { return count; }
	bool connected(int p, int q); 
	int Count(int n);
	int newSite();
};

bool WQU::connected(int p, int q) {
	if (p >= numberOfSite || q >= numberOfSite) {
		throw runtime_error("Site does not exist");
	}
	return find(p) == find(q);
}

//压缩路径find,递归,只修改查找时经历节点的连结
int WQU::find(int p) {
	if (p >= numberOfSite) {
		throw runtime_error("Site does not exist");
	}
	if (p == id[p]) { return p; }
	return id[p] = find(id[p]);
}

void WQU::Union(int p, int q) {
	if (p >= numberOfSite || q >= numberOfSite) {
		throw runtime_error("Site does not exist");
	}
	int rp = find(p);
	int rq = find(q);
	if (rp == rq) { return; }
	if (sz[rp] < sz[rq]) {
		id[rp] = rq;
		sz[rq] += sz[rp];
	}
	else {
		id[rq] = rp;
		sz[rp] += sz[rq];
	}
	--count;
}

//测试随机生成数据最终连在一棵树上所需的连结条数
int WQU::Count(int n) {
	while (n > numberOfSite) { newSite(); }
	while (get_count() != 1) {
		int p = rand() % n;
		int q = rand() % n;
		cout << p << ' ' << q << endl;
		if (!connected(p, q)) {
			Union(p, q);
		}
	}
	int cnt = 0;
	for (size_t i = 0; i < id.size(); ++i) {
		if (i != id[i]) {
			++cnt;
		}
	}
	return cnt;
}

//创建一个参与连结的新节点,返回它的值
int WQU::newSite() {
	id.push_back(numberOfSite);
	sz.push_back(1);
	++count;
	return numberOfSite++;
}

int main() {
	int n;
	cin >> n;
	WQU temp;
	cout << temp.Count(n);
	return 0;
}

find采用递归压缩路径。在不改变根节点的情况下,令被查找过的节点指向其根节点,从而降低被查找过的节点的深度,进而降低再次查找时的时间复杂度。


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