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Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin)

开发技术 开发技术 1周前 (05-04) 5次浏览

 

0.1Bearbeiten
{displaystyle int _{0}^{1}{frac {arcsin x}{x}},dx={frac {pi }{2}},log 2}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin)
Beweis

{displaystyle int _{0}^{1}{frac {arcsin x}{x}},dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin) ist nach der Substitution {displaystyle xmapsto sin x}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin) gleich {displaystyle int _{0}^{frac {pi }{2}}{frac {x}{sin x}},cos x,dx=int _{0}^{frac {pi }{2}}x,cot x,dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin).

Und das ist nach partieller Integration {displaystyle underbrace {{Big [}xlog(sin x){Big ]}_{0}^{frac {pi }{2}}} _{=0}-int _{0}^{frac {pi }{2}}log(sin x),dx={frac {pi }{2}},log 2}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin).

 
0.2Bearbeiten
{displaystyle int _{0}^{1}left({frac {arcsin x}{x}}right)^{2}dx=4,G-{frac {pi ^{2}}{4}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin)
Beweis

{displaystyle int _{0}^{1}left({frac {arcsin x}{x}}right)^{2},dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin) ist nach der Substitution {displaystyle xmapsto sin x}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin) gleich {displaystyle int _{0}^{frac {pi }{2}}{frac {x^{2}}{sin ^{2}x}},cos x,dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin).

Und das ist nach partieller Integration {displaystyle underbrace {left[x^{2},{frac {-1}{sin x}}right]_{0}^{frac {pi }{2}}} _{-{frac {pi ^{2}}{4}}}+2underbrace {int _{0}^{frac {pi }{2}}{frac {x}{sin x}},dx} _{2G}=4G-{frac {pi ^{2}}{4}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin).

 
0.3Bearbeiten
{displaystyle int _{0}^{1}left({frac {arcsin x}{x}}right)^{3}dx={frac {3pi }{2}}log 2-{frac {pi ^{3}}{16}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin)
Beweis

{displaystyle I:=int _{0}^{1}left({frac {arcsin x}{x}}right)^{3}dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin) ist nach Substitution {displaystyle xmapsto sin x}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin) gleich {displaystyle int _{0}^{frac {pi }{2}}x^{3},{frac {cos x}{sin ^{3}x}},dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin).

Das ist nach partieller Integration {displaystyle left[x^{3},{frac {-1}{2sin ^{2}x}}right]_{0}^{frac {pi }{2}}+int _{0}^{frac {pi }{2}}3x^{2},{frac {1}{2,sin ^{2}x}},dx=-{frac {pi ^{3}}{16}}+{frac {3}{2}}int _{0}^{frac {pi }{2}}x^{2},{frac {1}{sin ^{2}x}},dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin).

Nach wiederholter partieller Integration ist dabei {displaystyle int _{0}^{frac {pi }{2}}x^{2},{frac {1}{sin ^{2}x}},dx=underbrace {left[-x^{2},cot xright]_{0}^{frac {pi }{2}}} _{=0}+int _{0}^{frac {pi }{2}}2xcot x,dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin)

{displaystyle =underbrace {{Big [}2x,log(sin x){Big ]}_{0}^{frac {pi }{2}}} _{=0}-2int _{0}^{frac {pi }{2}}log(sin x),dx=pi log 2}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin). Also ist {displaystyle I=-{frac {pi ^{3}}{16}}+{frac {3}{2}},pi ,log 2}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin).

 
2.1Bearbeiten
{displaystyle int _{0}^{1}{frac {arcsin {sqrt {x}}}{1-left(2sin {frac {alpha }{2}}right)^{2},x,(1-x)}},dx={frac {pi }{4}},{frac {alpha }{sin alpha }}qquad -pi <alpha <pi }Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin)
Beweis

Nach Substitution {displaystyle xmapsto 1-x}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin) lässt sich das Integral auch schreiben als {displaystyle int _{0}^{1}{frac {arcsin {sqrt {1-x}}}{1-left(2sin {frac {alpha }{2}}right)^{2},x,(1-x)}},dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin).

Addiert man beide Darstellungen, so ist {displaystyle 2I=int _{0}^{1}{frac {arcsin {sqrt {x}}+arcsin {sqrt {1-x}}}{1-left(2sin {frac {alpha }{2}}right)^{2},x,(1-x)}},dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin). Der Zähler ist konstant {displaystyle {frac {pi }{2}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin).

Somit ist {displaystyle I={frac {pi }{4}}int _{0}^{1}{frac {1}{1-left(2sin {frac {alpha }{2}}right)^{2},x,(1-x)}},dx={frac {pi }{4}}left[{frac {1}{sin alpha }}arctan left((2x-1),tan {frac {alpha }{2}}right)right]_{0}^{1}={frac {pi }{4}},{frac {alpha }{sin alpha }}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,arcsin).


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