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Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)

开发技术 开发技术 1周前 (05-04) 6次浏览

 

0.1Bearbeiten
{displaystyle int _{0}^{frac {pi }{2}}log left(2sin {frac {x}{2}}right)dx=-G}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)
Beweis

Verwende die Fourierreihe {displaystyle -log left(2sin {frac {x}{2}}right)=sum _{n=1}^{infty }{frac {cos nx}{n}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin).

{displaystyle -int _{0}^{frac {pi }{2}}log left(2sin {frac {x}{2}}right)dx=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n}}int _{0}^{frac {pi }{2}}cos nx,dx=sum _{n=1}^{infty }{frac {sin {frac {npi }{2}}}{n^{2}}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}=G}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)

 
0.2Bearbeiten
{displaystyle int _{0}^{frac {pi }{3}}log ^{2}left(2sin {frac {x}{2}}right),dx={frac {7pi ^{3}}{108}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)
Beweis

Es sei {displaystyle mathbb {H} =mathbb {C} setminus {zin mathbb {R} ,|,zleq 0}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin) und {displaystyle ngeq 2,}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin) eine natürliche Zahl.

Die Funktion {displaystyle f_{n}:mathbb {H} to mathbb {C} ,,,zmapsto {frac {(-log z)^{n-1}}{1-z}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin) ist auf ganz {displaystyle mathbb {H} ,}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin) holomorph,

wenn man sie an ihrer hebbaren Definitionslücke {displaystyle z=1,}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin) stetig fortsetzt.

{displaystyle F_{n}:,,]-pi ,pi [to mathbb {C} ,,,theta mapsto int _{1}^{e^{-itheta }}f_{n}(z),dz}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin) ist nach der Substitution {displaystyle zto {frac {1}{z}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)

gleich {displaystyle int _{1}^{e^{itheta }}{frac {(log z)^{n-1}}{1-{frac {1}{z}}}},{frac {-dz}{z^{2}}}=int _{1}^{e^{itheta }}{frac {(log z)^{n-1}}{z,(1-z)}},dz}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin).

Und das ist nach der Partialbruchzerlegung {displaystyle {frac {1}{z,(1-z)}}={frac {1}{z}}+{frac {1}{1-z}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)

gleich {displaystyle int _{1}^{e^{itheta }}{frac {(log z)^{n-1}}{z}},dz+int _{1}^{e^{itheta }}{frac {(log z)^{n-1}}{1-z}},dz=left[{frac {1}{n}},(log z)^{n}right]_{1}^{e^{itheta }}+(-1)^{n-1}int _{1}^{e^{itheta }}f_{n}(z),dz}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin).

Also ist {displaystyle F_{n}(theta )={frac {(itheta )^{n}}{n}}+{overline {F_{n}(theta )}}qquad (1)}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)

{displaystyle G_{n}:,,]0,2pi [to mathbb {C} ,,,theta mapsto int _{0}^{1-e^{itheta }}f_{n}(z),dz}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin) ist nach der Substitution {displaystyle zto 1-z,}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin) gleich

{displaystyle -int _{1}^{e^{itheta }}{frac {left[-log(1-z)right]^{n-1}}{z}},dz}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin). Und das ist nach der Substitution {displaystyle zto e^{ix},}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin) gleich

{displaystyle -iint _{0}^{theta }left[-log(1-e^{ix})right]^{n-1},dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin), wobei {displaystyle -log(1-e^{ix})=-log left(2sin {frac {x}{2}}right)+i,{frac {pi -x}{2}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin) ist.

Also ist {displaystyle G_{n}(theta )=-iint _{0}^{theta }left[-log left(2sin {frac {x}{2}}right)+i,{frac {pi -x}{2}}right]^{n-1},dxqquad (2)}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)

{displaystyle G_{n}(theta )=int _{0}^{1-e^{itheta }}f_{n}(z),dz}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin) lässt sich aufspalten in {displaystyle int _{0}^{1}f_{n}(z),dz+int _{1}^{1-e^{itheta }}f_{n}(z),dz}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin),

wobei {displaystyle int _{0}^{1}f_{n}(z),dz=Gamma (n),zeta (n)}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin) ist. Setzt man {displaystyle theta ={frac {pi }{3}},}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin), so ist {displaystyle 1-e^{itheta }=e^{-itheta },}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin).

Daher gilt {displaystyle G_{n}left({frac {pi }{3}}right)=Gamma (n)zeta (n)+F_{n}left({frac {pi }{3}}right)qquad (3)}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)

Betrachte nun den Fall {displaystyle theta ={frac {pi }{3}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin) und {displaystyle n=3,:}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)

Aus {displaystyle (1),,,F_{3}left({frac {pi }{3}}right)={frac {left(i{frac {pi }{3}}right)^{3}}{3}}+{overline {F_{3}left({frac {pi }{3}}right)}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)

folgt {displaystyle {text{Im}}left[F_{3}left({frac {pi }{3}}right)right]={frac {1}{2i}},left(F_{3}left({frac {pi }{3}}right)-{overline {F_{3}left({frac {pi }{3}}right)}}right)={frac {1}{2i}},{frac {i^{3}pi ^{3}}{3^{4}}}=-{frac {pi ^{3}}{162}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin).

Aus {displaystyle (2),,,G_{3}left({frac {pi }{3}}right)=-iint _{0}^{frac {pi }{3}}left[-log left(2sin {frac {x}{2}}right)+i,{frac {pi -x}{2}}right]^{2},dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)

{displaystyle =int _{0}^{frac {pi }{3}}(pi -x),log left(2sin {frac {x}{2}}right),dx-iint _{0}^{frac {pi }{3}}left[log ^{2}left(2sin {frac {x}{2}}right)-left({frac {pi -x}{2}}right)^{2}right]dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)

folgt {displaystyle {text{Im}}left[G_{3}left({frac {pi }{3}}right)right]=int _{0}^{frac {pi }{3}}left({frac {pi -x}{2}}right)^{2},dx-int _{0}^{frac {pi }{3}}log ^{2}left(2sin {frac {x}{2}}right),dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin).

Und aus {displaystyle (3),,,G_{3}left({frac {pi }{3}}right)=2zeta (3)+F_{3}left({frac {pi }{3}}right)}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin) folgt {displaystyle {text{Im}}left[G_{3}left({frac {pi }{3}}right)right]={text{Im}}left[F_{3}left({frac {pi }{3}}right)right]}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin).

Also ist {displaystyle int _{0}^{frac {pi }{3}}log ^{2}left(2sin {frac {x}{2}}right),dx-int _{0}^{frac {pi }{3}}{frac {(pi -x)^{2}}{4}},dx={frac {pi ^{3}}{162}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin).

Und somit ist {displaystyle int _{0}^{frac {pi }{3}}log ^{2}left(2sin {frac {x}{2}}right),dx={frac {7pi ^{3}}{108}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin).

 
0.3Bearbeiten
{displaystyle int _{0}^{pi }log ^{2}left(2sin {frac {x}{2}}right),dx={frac {pi ^{3}}{12}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)
ohne Beweis

 

 
0.4Bearbeiten
{displaystyle int _{0}^{frac {pi }{3}}xlog ^{2}left(2sin {frac {x}{2}}right),dx={frac {17pi ^{4}}{6480}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)
Beweis

Betrachte nun den Fall {displaystyle theta ={frac {pi }{3}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin) und {displaystyle n=4,:}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)

Aus {displaystyle (1),,,F_{4}left({frac {pi }{3}}right)={frac {left(i{frac {pi }{3}}right)^{4}}{4}}-{overline {F_{4}left({frac {pi }{3}}right)}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)

folgt {displaystyle {text{Re}}left[F_{4}left({frac {pi }{3}}right)right]={frac {1}{2}},left(F_{4}left({frac {pi }{3}}right)+{overline {F_{4}left({frac {pi }{3}}right)}}right)={frac {1}{2}},{frac {pi ^{4}}{4cdot 3^{4}}}={frac {pi ^{4}}{648}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin).

Aus {displaystyle (2),,,G_{4}left({frac {pi }{3}}right)=-iint _{0}^{frac {pi }{3}}left[-log left(2sin {frac {x}{2}}right)+i,{frac {pi -x}{2}}right]^{3},dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)

{displaystyle =int _{0}^{frac {pi }{3}}left[3log ^{2}left(2sin {frac {x}{2}}right){frac {pi -x}{2}}-left({frac {pi -x}{2}}right)^{3}right],dx+iint _{0}^{frac {pi }{3}}left[log ^{3}left(2sin {frac {x}{2}}right)-3log left(2sin {frac {x}{2}}right),left({frac {pi -x}{2}}right)^{2}right],dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin)

folgt {displaystyle {text{Re}}left[G_{4}left({frac {pi }{3}}right)right]={frac {3pi }{2}}int _{0}^{frac {pi }{3}}log ^{2}left(2sin {frac {x}{2}}right),dx-{frac {3}{2}}int _{0}^{frac {pi }{3}}xlog ^{2}left(2sin {frac {x}{2}}right),dx-int _{0}^{frac {pi }{3}}{frac {(pi -x)^{3}}{8}}dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin).

Aus dem Fall {displaystyle n=3,}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin) ist bereits bekannt, dass {displaystyle int _{0}^{frac {pi }{3}}log ^{2}left(2sin {frac {x}{2}}right),dx={frac {7pi ^{3}}{108}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin) ist.

Also ist {displaystyle {text{Re}}left[G_{4}left({frac {pi }{3}}right)right]=-{frac {3}{2}}int _{0}^{frac {pi }{3}}xlog ^{2}left(2sin {frac {x}{2}}right),dx+{frac {187pi ^{4}}{2592}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin).

Und aus {displaystyle (3),,,G_{4}left({frac {pi }{3}}right)=Gamma (4)zeta (4)+F_{4}left({frac {pi }{3}}right)}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin) folgt {displaystyle {text{Re}}left[G_{4}left({frac {pi }{3}}right)right]-6cdot {frac {pi ^{4}}{90}}={text{Re}}left[F_{4}left({frac {pi }{3}}right)right]}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin).

Also ist {displaystyle -{frac {3}{2}}int _{0}^{frac {pi }{3}}xlog ^{2}left(2sin {frac {x}{2}}right),dx+{frac {187pi ^{4}}{2592}}-6cdot {frac {pi ^{4}}{90}}={frac {pi ^{4}}{648}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin).

Und somit ist {displaystyle int _{0}^{frac {pi }{3}}xlog ^{2}left(2sin {frac {x}{2}}right),dx={frac {17pi ^{4}}{6480}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,sin).


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