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Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan)

开发技术 开发技术 1周前 (05-04) 7次浏览

 

0.1Bearbeiten
{displaystyle int _{0}^{1}log left(tan {frac {pi x}{2}}right),dx=0}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan)
ohne Beweis

 

 
0.2Bearbeiten
{displaystyle int _{0}^{pi }log ^{2}left(tan {frac {x}{2}}right)dx={frac {pi ^{3}}{4}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan)
Beweis

Die Funktion {displaystyle f(x)=-{frac {1}{2}}log left(tan {frac {x}{2}}right)}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan) besitzt die Fourierreihenentwicklung {displaystyle sum _{k=0}^{infty }{frac {cos(2k+1)x}{2k+1}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan).

Nach der Parsevalschen Gleichung {displaystyle {frac {1}{pi }}int _{-pi }^{pi }|f(x)|^{2},dx={frac {a_{0}^{2}}{2}}+sum _{k=1}^{infty }{Big (}a_{k}^{2}+b_{k}^{2}{Big )}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan)

gilt dann {displaystyle {frac {1}{4pi }}int _{-pi }^{pi }log ^{2}left(tan {frac {x}{2}}right)dx=sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{(2k+1)^{2}}}={frac {pi ^{2}}{8}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan).

 
0.3Bearbeiten
{displaystyle int _{0}^{pi }log ^{2}left(tan {frac {x}{4}}right)dx={frac {pi ^{3}}{4}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan)
Beweis

Die Funktion {displaystyle f(x)=log ^{2}left(tan {frac {x}{2}}right)}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan) besitzt die Symmetrie {displaystyle f(pi -x)=f(x),}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan).

{displaystyle int _{0}^{pi }fleft({frac {x}{2}}right)dx=2int _{0}^{frac {pi }{2}}f(x),dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan) ist daher {displaystyle int _{0}^{pi }f(x),dx={frac {pi ^{3}}{4}}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan).

 
0.4Bearbeiten
{displaystyle int _{pi /4}^{pi /2}log log tan x,dx={frac {pi }{2}},log left({sqrt {2pi }},,{frac {Gamma left({frac {3}{4}}right)}{Gamma left({frac {1}{4}}right)}}right)}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan)
1. Beweis (Vardisches Integral)

{displaystyle I:=int _{pi /4}^{pi /2}log log tan x,dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan) ist nach Substitution {displaystyle xmapsto arctan e^{x}}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan) gleich {displaystyle {frac {1}{2}}int _{0}^{infty }{frac {log x}{cosh x}},dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan).

Und das ist {displaystyle {frac {pi }{2}},int _{0}^{infty }{frac {log pi x}{cosh pi x}},dx={frac {pi }{2}}log {sqrt {pi }}int _{-infty }^{infty }{frac {dx}{cosh pi x}}+{frac {pi }{8}}int _{-infty }^{infty }{frac {log x^{2}}{cosh pi x}},dx}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan).

Dabei ist {displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {dx}{cosh pi x}}=1}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan) und nach der Formel {displaystyle int _{-infty }^{infty }{frac {log(alpha ^{2}+x^{2})}{cosh pi x}},dx=4,log left({sqrt {2}};{frac {Gamma left({frac {3}{4}}+{frac {alpha }{2}}right)}{Gamma left({frac {1}{4}}+{frac {alpha }{2}}right)}}right)}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan) für {displaystyle alpha geq 0}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan)

ist {displaystyle {frac {pi }{8}},int _{-infty }^{infty }{frac {log x^{2}}{cosh pi x}},dx={frac {pi }{2}},log left({sqrt {2}},,{frac {Gamma left({frac {3}{4}}right)}{Gamma left({frac {1}{4}}right)}}right)}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan). Also ist {displaystyle I={frac {pi }{2}},log left({sqrt {2pi }};{frac {Gamma left({frac {3}{4}}right)}{Gamma left({frac {1}{4}}right)}}right)}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan).

2. Beweis

In der Formel {displaystyle int _{0}^{1}{frac {log log left({frac {1}{x}}right)}{1+2cos alpha pi cdot x+x^{2}}},dx={frac {pi }{2sin alpha pi }}left(alpha log 2pi +log {frac {Gamma left({frac {1}{2}}+{frac {alpha }{2}}right)}{Gamma left({frac {1}{2}}-{frac {alpha }{2}}right)}}right)}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan)

setze {displaystyle alpha ={frac {1}{2}},:quad int _{0}^{1}{frac {log log left({frac {1}{x}}right)}{1+x^{2}}},dx={frac {pi }{2}}left(log {sqrt {2pi }}+log {frac {Gamma left({frac {3}{4}}right)}{Gamma left({frac {1}{4}}right)}}right)}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan)

Durch die Substitution {displaystyle xmapsto cot x}Formelsammlung Mathematik: Bestimmte Integrale: Form R(x,log,tan) ergibt sich die besagte Gleichung.


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