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【现代控制理论基础】二、线性控制系统的运动分析

互联网 diligentman 20小时前 7次浏览

Author:AXYZdong 自动化专业 工科男
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文章目录

    • 2.1 线性定常系统齐次状态方程的解
    • 2.2 状态转移矩阵
      • 2.2.1 状态转移矩阵的含义
      • 2.2.2 状态转移矩阵的基本性质
      • 2.2.3 几个特殊的矩阵指数函数
      • 2.2.4

        ϕ

        (

        t

        )

        phi(t)

        ϕ(t)

        e

        A

        t

        e^{At}

        eAt 的计算

    • 2.3 线性定常系统非齐次状态方程的解
      • 2.3.1 线性系统的运动规律
      • 2.3.2 特定输入下的状态响应
    • 2.4 线性时变系统的运动分析
      • 2.4.1 齐次状态方程的解
      • 2.4.2 状态转移矩阵的计算
      • 2.4.3 线性时变非齐次状态方程的解
      • 2.4.4 系统输出
    • 2.5 线性定常系统的离散化
    • 参考文献

2.1 线性定常系统齐次状态方程的解

  • 线性定常系统的运动
  1. 自由运动:线性定常系统在没有控制的作用,即

    u

    =

    0

    u=0

    u=0 时,由初始状态引起的运动称自由运动。
    齐次状态方程的解:

    x

    ˊ

    =

    A

    x

    x

    (

    t

    )

    t

    =

    0

    =

    x

    (

    0

    )

    acute{x}=Ax,x(t)|_{t=0}=x(0)

    xˊ=Axx(t)t=0=x(0)

  2. 强迫运动:线性定常系统在控制

    u

    u

    u 作用下的运动,称为强迫运动。
    非齐次状态方程的解:

    x

    ˊ

    =

    A

    x

    +

    B

    u

    x

    (

    t

    )

    t

    =

    0

    =

    x

    (

    t

    0

    )

    acute{x}=Ax+Bu,x(t)|_{t=0}=x(t_0)

    xˊ=Ax+Bux(t)t=0=x(t0)

  • 齐次状态方程:

    x

    ˊ

    =

    A

    x

    acute{x}=Ax

    xˊ=Ax
    满足初始状态

    x

    (

    t

    )

    t

    =

    0

    =

    x

    (

    t

    0

    )

    x(t)|_{t=0}=x(t_0)

    x(t)t=0=x(t0) 的解是:

    x

    (

    t

    )

    =

    e

    A

    (

    t

    t

    0

    )

    x

    (

    t

    0

    )

    ,

    t

    t

    0

    x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0),tgeq t_0

    x(t)=eA(tt0)x(t0),tt0
    满足初始状态

    x

    (

    t

    )

    t

    =

    0

    =

    x

    (

    0

    )

    x(t)|_{t=0}=x(0)

    x(t)t=0=x(0) 的解是:

    x

    (

    t

    )

    =

    e

    A

    t

    x

    (

    0

    )

    ,

    t

    0

    x(t)=e^{At}x(0),tgeq 0

    x(t)=eAtx(0),t0

2.2 状态转移矩阵

2.2.1 状态转移矩阵的含义

已知线性定常系统的齐次状态方程:

x

ˊ

=

A

x

acute{x}=Ax

xˊ=Ax

满足初始状态

x

(

t

)

t

=

0

=

x

(

0

)

x(t)|_{t=0}=x(0)

x(t)t=0=x(0) 的解是:

x

(

t

)

=

e

A

t

x

(

0

)

,

t

0

x(t)=e^{At}x(0),tgeq 0

x(t)=eAtx(0),t0

满足初始状态

x

(

t

)

t

=

0

=

x

(

t

0

)

x(t)|_{t=0}=x(t_0)

x(t)t=0=x(t0) 的解是:

x

(

t

)

=

e

A

(

t

t

0

)

x

(

t

0

)

,

t

t

0

x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0),tgeq t_0

x(t)=eA(tt0)x(t0),tt0

{

e

A

t

=

ϕ

(

t

)

e

A

(

t

t

0

)

=

ϕ

(

t

t

0

)

{

x

(

t

)

=

ϕ

(

t

)

x

(

0

)

x

(

t

)

=

ϕ

(

t

t

0

)

x

(

t

0

)

令: begin{cases} e^{At}=phi (t) \[2ex] e^{A(t-t_0)}=phi (t-t_0) end{cases},则有: begin{cases} x(t)=phi (t)x(0) \[2ex] x(t)=phi (t-t_0)x(t_0) end{cases}

eAt=ϕ(t)eA(tt0)=ϕ(tt0)x(t)=ϕ(t)x(0)x(t)=ϕ(tt0)x(t0)
说明:

1、状态转移矩阵必须满足以下两个条件

  1. 状态转移矩阵初始条件:

    ϕ

    (

    t

    t

    0

    )

    =

    I

    phi (t-t_0)=I

    ϕ(tt0)=I

  2. 状态方程本身:

    ϕ

    (

    t

    t

    0

    )

    =

    A

    ϕ

    (

    t

    t

    0

    )

    phi (t-t_0)=Aphi (t-t_0)

    ϕ(tt0)=Aϕ(tt0)

2、对于线性定常系统来说,状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身

3、状态转移矩阵的物理意义:从时间角度看,状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换,不断地在状态空间中作转移,故称为状态转移矩阵。

【现代控制理论基础】二、线性控制系统的运动分析

2.2.2 状态转移矩阵的基本性质

  1. 不发生时间推移下的不变性

    e

    A

    (

    t

    t

    0

    )

    =

    e

    A

    0

    =

    I

    e^{A(t-t_0)}=e^{A0}=I

    eA(tt0)=eA0=I

  2. 传递性(组合性)

    ϕ

    (

    t

    2

    t

    0

    )

    =

    ϕ

    (

    t

    2

    t

    1

    )

    ϕ

    (

    t

    1

    t

    0

    )

    phi (t_2-t_0)=phi (t_2-t_1)phi (t_1-t_0)

    ϕ(t2t0)=ϕ(t2t1)ϕ(t1t0)

  3. 可逆性

    e

    A

    t

    e^{At}

    eAt 总是非奇异的,必有逆存在,且:

    (

    e

    A

    t

    )

    1

    =

    e

    A

    t

    (e^{At})^{-1}=e^{-At}

    (eAt)1=eAt

  4. 分解性

    A

    A

    A

    n

    ×

    n

    ntimes n

    n×n 阶矩阵 ,

    t

    1

    t_1

    t1

    t

    2

    t_2

    t2 为两个独立自变量,则有:

    e

    A

    (

    t

    1

    +

    t

    2

    )

    =

    e

    A

    t

    1

    e

    A

    t

    2

    e^{A(t_1+t_2)}=e^{At_1}e^{At_2}

    eA(t1+t2)=eAt1eAt2

  5. 倍时性

    [

    ϕ

    (

    t

    )

    ]

    k

    =

    ϕ

    (

    k

    t

    )

    [phi(t)]^k=phi (kt)

    [ϕ(t)]k=ϕ(kt)

  6. 微分性和交换性:

    e

    A

    t

    d

    d

    t

    (

    e

    A

    t

    )

    =

    A

    e

    A

    t

    =

    e

    A

    t

    A

    对e^{At}有:frac{d}{dt}(e^{At})=Ae^{At}=e^{At}A

    eAtdtd(eAt)=AeAt=eAtA

2.2.3 几个特殊的矩阵指数函数

  • A

    A

    A 为对角线矩阵,即
    【现代控制理论基础】二、线性控制系统的运动分析
    则:【现代控制理论基础】二、线性控制系统的运动分析

  • A

    A

    A 能够通过非奇异变换予以对角线化,即

    T

    1

    A

    T

    =

    A

    T^{-1}AT=A

    T1AT=A
    则:【现代控制理论基础】二、线性控制系统的运动分析

  • A

    A

    A 为约旦阵
    【现代控制理论基础】二、线性控制系统的运动分析
    则:【现代控制理论基础】二、线性控制系统的运动分析

2.2.4

ϕ

(

t

)

phi(t)

ϕ(t)

e

A

t

e^{At}

eAt 的计算

  • 根据

    ϕ

    (

    t

    )

    phi(t)

    ϕ(t)

    e

    A

    t

    e^{At}

    eAt 的定义直接计算

  • 变为

    A

    A

    A 约旦标准型

  • 利用拉氏反变换法求

    e

    A

    t

    e^{At}

    eAt

  • 应用凯莱–哈密顿定理求

    e

    A

    t

    e^{At}

    eAt

2.3 线性定常系统非齐次状态方程的解

2.3.1 线性系统的运动规律

若线性定常系统的非齐次状态方程

x

ˊ

=

A

x

+

B

u

,

acute{x}=Ax+Bu,

xˊ=Ax+Bu, 初始状态为

x

(

t

0

)

x(t_0)

x(t0) 的解存在,则解形式如下:

x

(

t

)

=

e

A

(

t

t

0

)

x

(

t

0

)

+

t

0

t

e

A

(

t

τ

)

B

u

(

τ

)

d

τ

x

(

t

)

=

ϕ

(

t

t

0

)

x

(

t

0

)

+

t

0

t

ϕ

(

t

τ

)

B

u

(

τ

)

d

τ

(1)

x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+int_{t_0}^{t}e^{A(t-tau)}Bu(tau)dtau tag 1 \[2ex] 或: x(t)=phi (t-t_0)x(t_0)+int_{t_0}^{t}phi (t-tau)Bu(tau)dtau

x(t)=eA(tt0)x(t0)+t0teA(tτ)Bu(τ)dτx(t)=ϕ(tt0)x(t0)+t0tϕ(tτ)Bu(τ)dτ(1)

  • ϕ

    (

    t

    t

    0

    )

    x

    (

    t

    0

    )

    phi (t-t_0)x(t_0)

    ϕ(tt0)x(t0) :初始状态引起的响应,零输入响应——自由运动

  • t

    0

    t

    ϕ

    (

    t

    τ

    )

    B

    u

    (

    τ

    )

    d

    τ

    int_{t_0}^{t}phi (t-tau)Bu(tau)dtau

    t0tϕ(tτ)Bu(τ)dτ:输入引起的响应,零状态响应——强迫运动

t

0

=

0

t_0=0

t0=0 时,

x

(

t

)

=

ϕ

(

t

)

x

(

0

)

+

0

t

ϕ

(

t

τ

)

B

u

(

τ

)

d

τ

x(t)=phi (t)x(0)+int_{0}^{t}phi (t-tau)Bu(tau)dtau\[2ex]

x(t)=ϕ(t)x(0)+0tϕ(tτ)Bu(τ)dτ

如果系统的输出方程为:

y

(

t

)

=

C

x

(

t

)

+

D

u

(

t

)

y(t)=Cx(t)+Du(t)

y(t)=Cx(t)+Du(t)
将式(1)代入上式得:

y

(

t

)

=

C

e

A

(

t

t

0

)

x

(

t

0

)

+

C

t

0

t

e

A

(

t

τ

)

B

u

(

τ

)

d

τ

+

D

u

(

t

)

y(t)=Ce^{A(t-t_0)}x(t_0)+Cint_{t_0}^{t}e^{A(t-tau)}Bu(tau)dtau+Du(t)

y(t)=CeA(tt0)x(t0)+Ct0teA(tτ)Bu(τ)dτ+Du(t)
说明:与线性定常系统齐次状态方程的解不同,齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。

例:设系统状态方程为:

{

x

1

ˊ

=

x

2

x

2

ˊ

=

x

1

2

x

2

+

u

令: begin{cases} acute{x_1}=x_2 \[2ex] acute{x_2}=-x_1-2x_2+u end{cases}

x1ˊ=x2x2ˊ=x12x2+u
试求当

u

(

t

)

=

sin

t

+

cos

t

u(t)=sin t+cos t

u(t)=sint+cost 时非齐次方程的解,且已知

(

x

1

(

0

)

x

2

(

0

)

)

=

(

1

0

)

begin{pmatrix} x_1(0 )\[2ex] x_2(0)\ end{pmatrix} = begin{pmatrix} 1\[2ex] 0\ end{pmatrix}

(x1(0)x2(0))=(10)
输出方程为:

y

=

x

1

y=x_1

y=x1

解:

A

=

(

0

1

1

2

)

B

=

(

0

1

)

C

=

(

1

0

)

A= begin{pmatrix} 0 &1\[2ex] -1 & -2\ end{pmatrix}, B = begin{pmatrix} 0\[2ex] 1\ end{pmatrix}, C= begin{pmatrix} 1 &0\ end{pmatrix}

A=(0112)B=(01)C=(10)

  1. ϕ

    (

    t

    )

    phi (t)

    ϕ(t)

    ϕ

    (

    t

    )

    =

    (

    (

    1

    +

    t

    )

    e

    t

    t

    e

    t

    t

    e

    t

    (

    1

    t

    )

    e

    t

    )

    phi(t)= begin{pmatrix} (1+t)e^{-t} & te^{-t}\[2ex] -te^{-t} & (1-t)e^{-t}\ end{pmatrix}

    ϕ(t)=((1+t)ettettet(1t)et)

  2. y

    =

    C

    X

    =

    C

    ϕ

    (

    t

    )

    x

    (

    0

    )

    +

    C

    0

    t

    ϕ

    (

    t

    τ

    )

    B

    u

    (

    τ

    )

    d

    τ

    =

    (

    1

    +

    t

    )

    e

    t

    +

    0

    t

    (

    t

    τ

    )

    e

    (

    t

    τ

    )

    (

    sin

    t

    +

    cos

    t

    )

    d

    τ

      


      

    y

    (

    t

    )

    =

    3

    2

    e

    t

    +

    t

    e

    t

    +

    1

    2

    sin

    t

    1

    2

    cos

    t

    y=CX\[2ex] =Cphi(t)x(0)+Cint^{t}_{0}phi (t-tau)Bu(tau)dtau\[2ex] =(1+t)e^{-t}+int^{t}_{0}(t-tau)e^{-(t-tau)}(sin t+cos t)dtau\[2ex] implies y(t)=frac{3}{2}e^{-t}+te^{-t}+frac{1}{2}sin t-frac{1}{2}cos t

    y=CX=Cϕ(t)x(0)+C0tϕ(tτ)Bu(τ)dτ=(1+t)et+0t(tτ)e(tτ)(sint+cost)dτy(t)=23et+tet+21sint21cost

2.3.2 特定输入下的状态响应

  • 脉冲响应

    u

    (

    t

    )

    =

    K

    δ

    (

    t

    )

    x

    (

    0

    )

    =

    x

    0

    x

    (

    t

    )

    =

    e

    A

    t

    x

    0

    +

    e

    A

    t

    B

    K

    当u(t)=Kdelta(t),x(0)=x_0时,\[2ex] x(t)=e^{At}x_0+e^{At}BK

    u(t)=Kδ(t)x(0)=x0x(t)=eAtx0+eAtBK

  • 阶跃响应

    u

    (

    t

    )

    =

    K

    1

    (

    t

    )

    x

    (

    0

    )

    =

    x

    0

    x

    (

    t

    )

    =

    e

    A

    t

    x

    0

    +

    A

    1

    (

    e

    A

    t

    I

    )

    B

    K

    当u(t)=Kcdot 1(t),x(0)=x_0时,\[2ex] x(t)=e^{At}x_0+A^{-1}(e^{At}-I)BK

    u(t)=K1(t)x(0)=x0x(t)=eAtx0+A1(eAtI)BK

  • 斜坡响应

    u

    (

    t

    )

    =

    K

    t

    1

    (

    t

    )

    x

    (

    0

    )

    =

    x

    0

    x

    (

    t

    )

    =

    e

    A

    t

    x

    0

    +

    [

    A

    2

    (

    e

    A

    t

    I

    )

    A

    1

    t

    ]

    B

    K

    当u(t)=Ktcdot 1(t),x(0)=x_0时,\[2ex] x(t)=e^{At}x_0+[A^{-2}(e^{At}-I)-A^{-1}t]BK

    u(t)=Kt1(t)x(0)=x0x(t)=eAtx0+[A2(eAtI)A1t]BK

2.4 线性时变系统的运动分析

线性时变系统方程为:

{

x

ˊ

(

t

)

=

A

(

t

)

x

(

t

)

+

B

(

t

)

u

(

t

)

y

(

t

)

=

C

(

t

)

x

(

t

)

+

D

(

t

)

u

(

t

)

(2)

begin{cases} acute{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)\[2ex] y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)tag 2 end{cases}

xˊ(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)(2)
如果

A

(

t

)

B

(

t

)

C

(

t

)

A(t)、B(t)、C(t)

A(t)B(t)C(t) 的所有元素在时间区间上

[

t

0

,

]

[t_0,infty]

[t0,] 均是连续函数,则对于任意的初始状态

x

(

t

0

)

x(t_0)

x(t0) 和输入向量

u

(

t

)

u(t)

u(t) ,系统状态方程的解存在并且唯一。

2.4.1 齐次状态方程的解

x

ˊ

(

t

)

=

A

(

t

)

x

(

t

)

x

(

t

0

)

x

(

t

)

=

ϕ

(

t

,

t

0

)

x

(

t

0

)

acute{x}(t)=A(t)x(t)\[2ex] 初始状态为x(t_0),其解为:x(t)=phi(t,t_0)x(t_0)

xˊ(t)=A(t)x(t)x(t0)x(t)=ϕ(t,t0)x(t0)

2.4.2 状态转移矩阵的计算

线性时变系统的状态转移矩阵

ϕ

(

t

,

t

0

)

phi(t,t_0)

ϕ(t,t0) 既是时间

t

t

t 的函数,又是初始时刻

t

0

t_0

t0 的函数。 一般用级数近似法计算。

ϕ

(

t

,

t

0

)

=

I

+

t

0

t

A

(

τ

0

)

d

τ

0

+

t

0

t

A

(

τ

0

)

t

0

τ

0

A

(

τ

1

)

d

τ

1

d

τ

0

+

t

0

t

A

(

τ

0

)

t

0

τ

0

A

(

τ

1

)

t

0

τ

1

A

(

τ

2

)

d

τ

2

d

τ

1

d

τ

0

+

.

.

.

phi(t,t_0)=I+int_{t_0}^{t}A(tau_0)dtau_0+int^{t}_{t_0}A(tau_0)int_{t_0}^{tau_0}A(tau_1)dtau_1dtau_0+int^{t}_{t_0}A(tau_0)int_{t_0}^{tau_0}A(tau_1)int_{t_0}^{tau_1}A(tau_2)dtau_2dtau_1dtau_0+…

ϕ(t,t0)=I+t0tA(τ0)dτ0+t0tA(τ0)t0τ0A(τ1)dτ1dτ0+t0tA(τ0)t0τ0A(τ1)t0τ1A(τ2)dτ2dτ1dτ0+...

2.4.3 线性时变非齐次状态方程的解

将(2)中的状态方程重写为:

{

x

ˊ

(

t

)

=

A

(

t

)

x

+

B

(

t

)

u

x

(

t

)

t

=

t

0

=

x

(

t

0

)

begin{cases} acute{x}(t)=A(t)x+B(t)u\[2ex] x(t)|_{t=t_0}=x(t_0) end{cases}

xˊ(t)=A(t)x+B(t)ux(t)t=t0=x(t0)
其解为:

x

(

t

)

=

ϕ

(

t

,

t

0

)

x

(

t

0

)

+

t

0

t

ϕ

(

t

,

τ

)

B

(

τ

)

u

(

τ

)

d

τ

x

(

t

)

=

ϕ

(

t

,

t

0

)

[

x

(

t

0

)

+

t

0

t

ϕ

(

t

0

,

τ

)

B

(

τ

)

u

(

τ

)

d

τ

]

x(t)=phi (t,t_0)x(t_0)+int_{t_0}^{t}phi (t,tau)B(tau)u(tau)dtau\[2ex] x(t)=phi (t,t_0)[x(t_0)+int_{t_0}^{t}phi (t_0,tau)B(tau)u(tau)dtau]

x(t)=ϕ(t,t0)x(t0)+t0tϕ(t,τ)B(τ)u(τ)dτx(t)=ϕ(t,t0)[x(t0)+t0tϕ(t0,τ)B(τ)u(τ)dτ]

2.4.4 系统输出

对于系统方程(2)描述的线性时变系统,其输出为:

y

(

t

)

=

C

(

t

)

ϕ

(

t

,

t

0

)

x

(

t

0

)

+

C

(

t

)

t

0

t

ϕ

(

t

,

τ

)

B

(

τ

)

u

(

τ

)

d

τ

+

D

(

t

)

u

(

t

)

y(t)=C(t)phi(t,t_0)x(t_0)+C(t)int_{t_0}^{t}phi(t,tau)B(tau)u(tau)dtau+D(t)u(t)

y(t)=C(t)ϕ(t,t0)x(t0)+C(t)t0tϕ(t,τ)B(τ)u(τ)dτ+D(t)u(t)

2.5 线性定常系统的离散化

线性定常系统:

{

x

ˊ

=

A

x

+

B

u

y

=

C

x

+

D

u

begin{cases} acute{x}=Ax+Bu\[2ex] y=Cx+Du end{cases}

xˊ=Ax+Buy=Cx+Du
离散化后系统方程为:

{

x

(

k

+

1

)

=

G

x

(

k

)

+

H

u

(

k

)

y

(

k

)

=

C

x

(

k

)

+

D

u

(

k

)

{

G

=

e

A

T

H

=

[

0

T

e

A

τ

d

τ

]

B

C

=

C

D

=

D

begin{cases} x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)\[2ex] y(k)=Cx(k)+Du(k) end{cases}\[3ex] 式中: begin{cases} G= e^{AT}\[2ex] H=[int_{0}^{T}e^{Atau}dtau]B\[2ex] C=C\[2ex] D=D end{cases}

x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k)G=eATH=[0TeAτdτ]BC=CD=D

  • 先求

    e

    A

    t

    e^{At}

    eAt ,再求

    e

    A

    T

    e^{AT}

    eAT 。其中

    e

    A

    t

    e^{At}

    eAt 可利用【定义法】、【拉普拉斯变换法】、【凯莱-哈密顿定理】或【线性变换法】求出。

参考文献

[1]:刘豹,唐万生. 现代控制理论[M]. 北京:机械工业出版社,2006.7
[2]:王孝武. 现代控制理论基础[M]. 3版 北京:机械工业出版社,2013.7

  本次的分享就到这里


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