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从原码,反码,补码的设计理念来深入理解其原理

开发技术 开发技术 2周前 (06-10) 9次浏览

原码,反码,补码大家都知道,下面通过解析为什么当初要这样设计,让你更透彻的理解它们的原理。

文章参考:

https://blog.csdn.net/afsvsv/article/details/94553228
https://blog.csdn.net/wu_nan_nan/article/details/54633506
https://www.zhihu.com/question/28685048

计算方式

原码:是计算机机器数中最简单的一种形式,数值位就是真值的绝对值,即二进制表示的格式;其中最高位是符号位,符号位中0表示正数,1表示负数。

反码:正数的反码和原码一样;负数的反码是它原码除符号位外,其他位按位取反。

补码:正数的补码和原码一样;负数的补码等于它反码+1,或者说是等于它的原码自低位向高位,尾数的第一个‘1’及其右边的‘0’保持不变,左边的各位按位取反,符号位不变。

为什么这样要计算呢?

由于计算机的硬件设计决定,其本质都是以二进制码来存储和运算的;根据冯~诺依曼提出的经典计算机体系结构框架。一台计算机由运算器,控制器,存储器,输入和输出设备组成。其中运算器,只有加法运算器,没有减法运算器(据说一开始是有的,后来由于减法器硬件开销太大,被废了 )。

因此在计算机中是没有减法的,只有加法运算。即减一个数相当于加上一个负数。

所以需要设计一种新的计算规则来实现计算机的加法运算;注意我们需要的是一个新的规则来适配计算机的加法运算,使其最终结果和我们现有的计算规则的结果一样!!

下面我们以4位的二进制数为例做设计。

原码

原码:是最简单的机器数表示法。用最高位表示符号位,‘1’表示负号,‘0’表示正号。其他位存放该数的二进制的绝对值。

下面这个以原码的规则计算机中存储的数据

/ 正数 / 负数
0 0000 -0 1000
1 0001 -1 1001
2 0010 -2 1010
3 0011 -3 1011
4 0100 -4 1100
5 0101 -5 1101
6 0110 -6 1110
7 0111 -7 1111

这种设计方式很简单,虽然出现了-0和+0,但是还能接受;下面我们开始做运算:

	0001+0010=0011  ==>> 1+2=3      没得问题
	0000+1000=1000  ==>> 0+(-0)=-0  可以接受
	0001+1001=1010  ==>> 1+(-1)=-2  哦,这个...

这种方式在正数之间进行没得问题,但是有负数的运算就不行了,看来原码干不了这个活啊;于是反码来了。

反码

我们知道,在十进制中一个数和其相反数相加等于0,对应的减法也可定义为一个数加上另一个数的相反数;基于这一点反码的设计思路出来,那就是定义二进制的相反数求法。

直接按十进制的套用明显不行,那么让它的原码除符号位外,按位取反;由于正数使用原码进行计算没得问题,就暂时不动它,只让其适用于负数。得到如下的结果:

从原码,反码,补码的设计理念来深入理解其原理

现在再来计算:

	0001+1110=1111  ==>> 1+(-1)=-0  现在正确了

注意现在计算机中实际存储的是反码了。

	1110+1101=1011  ==>> -1+(-2)=--4  哦,这个...

这种方式好像在计算负数+负数的时候不得行啊。

不过我们已经解决了相反数相加的问题了,对于负数我们直接让其符号位固定为1即可达到正确结果。

0001+1110=1111 ==>> 1+(-1)=-0  这个看着怪别扭的

这种负0看着怪别扭的,同时需要在负数+负数的时候还要做个符号位强制位1的操作,太麻烦了,要想个办法偷懒(平时编程中也应当有个偷懒的思维 hhh); 于是补码出现了。

补码

由于正数是没得问题的,不做修改,所以正数的补码等于他的原码;负数的补码等于反码+1。(这只是一种算补码的方式,多数书对于补码就是这句话)

负数的补码等于他的原码自低位向高位,尾数的第一个‘1’及其右边的‘0’保持不变,左边的各位按位取反,符号位不变。

想想当年那些计算机学家(高级专业偷懒户),并不会心血来潮的把反码+1就定义为补码。下面来看看其设计原因。

由于使用十进制的计算方式已经不能满足二进制的需求了,因此我们需要跳出来,重新找灵感。

生活中的时钟有12个刻度,如果时针现在在10点的位置,那么什么时候会停止在8点钟的位置呢?

这个很简单再过10个小时,或者2个小时前,那么得到如下公式:

10-2=8=10+10 时间超过12就会重新开始,这种称为模。

在时钟运算中,减去一个数,其实就相当于加上另外一个数(这个数与减数相加正好等于12,也称为同余数)

通过时钟的例子可以发现最终转换后的计算表达式是2个正数相加,而从前面的结论中2个正数进行运算其符号位并不是必须的,那么现在设计补码时我们暂时就将符号位去掉。

这也是为什么正数的符号位是0,负数的符号位是1的原因;因为如果正数的符号位是1的话,由于其符号位被忽略,当其参与运算时就会发生进位的情况,而使用0就不会有这种情况。

  • 同余数

现在就是需要求这个同余数的问题,根据数学中对同余数的定义:

    两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余。

例如,当m=12时,3跟15是同余的,因为3mod12=3=15mod12,对于同余,有如下结论:

    a,b是关于m同余的,当且仅当,二者相差m的整数倍,
    a−b=k×m, with k=……−2,−1,0,1,2,……
    即,
    a=b+k×m, with k=……−2,−1,0,1,2,……
    一个数x加a对m取余,等于x加a的同余b对m取余,即,
    (x+a) mod m=(x+b) mod m.
    由1.易知2.是成立的。

参数带入:

    3-15=-1*12  === 3=15+(-1)*12
    (x+3)%12=(x+15)%12

将上面的表达式在简化下:

    若:a=b+m,则 (x+a) mod m = (x+b) mod m

那么现在该如何来求这个同余数呢?也就是求证补码就是负数的同余数。

若b为一个负数,表达式可以转为类似如下:

    a-b=m  ===>> 设c=-b,则:a+c=m,减一个负数等于加上这个负数的绝对值。即a就是b的补码

现在要求a, 上面表达式中c是一个正数,那么在补码中对应的符号位就没有用了,因为负数变为了正数。
参考时钟的案例,我们最终其实只关注二进制位数能够表示的数,即时钟刻度的最大值就是m,也就是二进制位数表达的最大值,如4位的就是16;所以求a就是求m-c,即二进制的另一半。而c的另一半就是把二进制位上的0变1、1变0即取反,它们相加后全是1,而m是其最大值+1,因此还需要加1才行。由此补码的求法也就出来了。这个计算的方法还可以参考时钟的情况。下面来实际计算:

示例1:

    3-5=-2=(3+11)%16
    
    0011(3的补码) + 1011(-5的补码) = 1110
    1110是一个补码(此时最高位就是符号位)转为原码:1010 即为-2

示例2:

    5-3=2=(5+13)%16
    0101(5的补码) + 1101(-3的补码) = 1 0010
    由于总共只有4位,因此最终的补码为 0010 转为原码:0010即为2

因此在计算机中实际存储的是补码,进行操作的时候也是通过补码来进行操作。

从原码,反码,补码的设计理念来深入理解其原理


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