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正态分布密度函数的系数

开发技术 开发技术 2周前 (06-10) 13次浏览

正态分布的密度函数,可以一般化地写为

[f(x) = k expleft[-dfrac{1}{2}(x-b)’ A (x-b)right]
]

事实上,如果某个多维随机变量的密度函数可以写成该形式,那么它就服从正态分布。其中(b)是均值,正定矩阵(A)是协方差矩阵的逆,它们共同决定的正态分布的形式。而另外一个字母(k),仅仅是归一化系数,它是满足整个密度函数的积分等于(1)的那个值。

如果有人背过公式,会发现这个系数的形式比较复杂。本文具体来看看,它是怎么计算出来的。

由于(A)是正定的,必有分解(A=CC’)。先做个变换,令(x-b=(C’)^{-1}y),那么

[(x-b)’ A (x-b) = y’ C^{-1}A(C’)^{-1}y = y’y
]

同时,该变换的Jacobian matrix为(J = det [(C’)^{-1}]=1/det(C))

假设(x)(d)维,则(y)也是(d)维,将其各维写出,有(y = (y_1,cdots,y_d)’)。接下来,对密度函数进行积分:

[begin{aligned}
&int_{-infty}^{infty} cdots int_{-infty}^{infty} f(x) dx_1 cdots dx_d\
=& int_{-infty}^{infty}cdotsint_{-infty}^{infty} kexp(-dfrac{1}{2}y’y) |J| dy_1 cdots dy_d\
=& dfrac{k}{|det(C)|} int_{-infty}^{infty}cdotsint_{-infty}^{infty} prod_{i=1}^{d}exp(-dfrac{1}{2} y_i^2) dy_1 cdots dy_d\
=& dfrac{k}{|det(C)|} prod_{i=1}^{d} int_{-infty}^{infty} exp(-dfrac{1}{2} y_i^2) dy_i \
=& dfrac{k}{|det(C)|} prod_{i=1}^{d} sqrt{2pi} \
=& dfrac{k}{|det(C)|} (2pi)^{d/2} \
=& k [det(A)]^{-1/2} (2pi)^{d/2}
end{aligned}
]

上述积分必定等于(1),因此,

[k=(2pi)^{-d/2} [det(A)]^{1/2}
]


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