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图解堆排序,详细

开发技术 开发技术 2小时前 1次浏览

写在前面:

大家好,我是时光。

今天给大家带来的是排序算法中的堆排序,这种排序跟二叉树相关。我采用图解方式讲解,争取写透彻。话不多说,开始!

思维导图:

图解堆排序,详细排序导图

1,堆排序概念

排序(Heapsort)是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构,并同时满足堆积的性质:即子结点的键值或索引总是小于(或者大于)它的父节点。

相关概念:

1.1,二叉树

图解堆排序,详细二叉树

特征:每个节点最多只有2个子节点(不存在度大于2的节点)

1.2,满二叉树

图解堆排序,详细满二叉树

满二叉树:叶子节点全部都在最底层;除叶子节点外,每个节点都有左右孩子;

1.3,完全二叉树

图解堆排序,详细完全二叉树

完全二叉树:叶子节点全部都在最底的两层;最后一层只缺少右边的叶子节点,左边一定有叶子节点;除了最后一层,其他层的节点个数均达到最大值;

1.4,最大堆和最小堆

最大堆:堆顶是整个堆中最大元素

最小堆:堆顶是整个堆中最小元素

2,算法思路

我们先搞清楚这个堆排序思想,先把逻辑搞清楚,不着急写代码。

我们首先有一个无序数组,比方说

int[] arr={4,2,8,0,5,7,1,3,9};

既然用到堆,肯定先要将数组构建成二叉堆。需要对数组从小到大排序,则构建成最大堆;需要对数组从小到大排序,则构建成最小堆。

2.1,第一个步骤,初始化堆

我们先来看看数组是如何存储二叉树的

图解堆排序,详细

注意:这里考虑的当前节点,必须是完全二叉树的非叶子节点。并且节点的左孩子和右孩子必须小于数组长度,所以后面需要添加限制条件。

看到上图中的公式,我们明白了数组是可以存储完全二叉树,同时保留节点之间的关系。以上述数组为例

图解堆排序,详细数组存储完全二叉树

那么存储好之后,如何将二叉树构建成二叉堆呢?继续往下看

图解堆排序,详细完全二叉树

以这个图为例,我们以最大堆举例,若要构建二叉堆,则A要比B和C都大,B要比D和E都大,C要比F和G都大。也就是说父节点要比子节点都大才行。

图解堆排序,详细记录数组下标的二叉树

在这个图中,明显不满足最大堆的要求。我们先拿序号为3,7,8的三个节点来研究,i=3的节点比i=7和i=8的节点都小,所以需要交换位置。注意此图是从0开始,也就是模拟数组下标从0开始。

怎么交换呢?很简单。我们看节点0,设为当前节点index,那么它的lchild=index*2+1,它的rchild=index*2+2;注意下标从0开始。

//初始化堆
public static void HeapAdjust(int[] arr,int index,int len){
        //先保存当前节点的下标
        int max = index;
        //保存左右孩子数组下标
        int lchild = index*2+1;
        int rchild = index*2+2;
        //开始调整,左右孩子下标必须小于len,也就是确保数组不会越界
        if(lchild<len && arr[lchild] > arr[max]){
            max=lchild;
        }
        if(rchild<len && arr[rchild] > arr[max]){
            max=rchild;
        }
        //若发生了交换,则max肯定不等于index了。此时max节点值需要与index节点值交换,上面交换索引值,这里交换节点值
        if(max!=index){
            int temp=arr[index];
            arr[index]=arr[max];
            arr[max]=temp;
            //交换完之后需要再次对max进行调整,因为此时max有可能不满足最大堆
            HeapAdjust(arr,max,len);
        }
    }

上面代码很好理解,中间的两个if语句就是交换节点索引值,只要有一个孩子节点大于index,就需要进行交换。若父节点index比两个孩子节点都大,那么就不需要交换了。

最后面的if语句是交换节点值,我们知道,只要indexlchildrchild有交换,则index一定不等于max了!

那为什么最后的if语句里面还要加上一个递归写法呢?我们举个例子就明白了,还是以上述数组为例,先看看一轮交换之后的样子:

第一次交换,0与9交换,此时Index=9;

图解堆排序,详细0与9交换

第二次交换,8已经比7和1都大了,此时不需要交换;

第三次交换,2与9交换,此时Index=9;

图解堆排序,详细2与9交换

第四次交换,4与9交换,此时Index=9,第一轮交换到此结束。

图解堆排序,详细4与9交换

一轮结束后,有小伙伴儿已经发现问题了,虽然9成功的成为最大堆的堆顶元素,但是下面的其他元素并不满足最大堆的要求,比如说左下角的元素2,元素3,元素0等这种二叉树就不满足,元素4,元素2,元素5也不满足。

因此在交换节点值这个步骤里,我们需要进行递归操作,交换完之后再次对index进行堆调整:

//若发生了交换,则max肯定不等于index了。此时max节点值需要与index节点值交换,上面交换索引值,这里交换节点值
if(max!=index){
    int temp=arr[index];
    arr[index]=arr[max];
    arr[max]=temp;
    //交换完之后需要再次对max进行调整,因为此时max有可能不满足最大堆
    HeapAdjust(arr,max,len);
}

堆排序的测试:

//堆排序
    public static int[] HeapSort(int[] arr){
        int len=arr.length;
        /**
         * 第一步,初始化堆,最大堆,从小到大
         * i从完全二叉树的第一个非叶子节点开始,也就是len/2-1开始(数组下标从0开始)
         */
        for(int i=len/2-1;i>=0;i--){
            HeapAdjust(arr,i,len);
        }
        //打印堆顶元素,应该为最大元素9
        System.out.println(arr[0]);
        return arr;
    }

上述代码就是从完全二叉树的第一个非叶子节点开始调换,还顺便打印堆顶元素,此时应为9;

至此,第一个步骤,初始化堆完成,最后的结果应该为下图:

图解堆排序,详细初始化堆结束

2.2,第二个步骤,堆排序

堆排序的过程就是将堆顶元素(最大值或者最小值)与二叉堆的最末尾叶子节点进行调换,不停的调换,直到二叉堆的顺序变成从小到大或者从大到小,也就实现了我们的目的。

我们这里以最大堆的堆顶元素(最大元素)为例,最后调换的结果就是从小到大排序的结果。

第一次交换,我们直接将元素9与元素0交换,此时堆顶元素为0,设当前节点index=0;

图解堆排序,详细0与9交换

这时,我们需要将剩下的元素(排除元素9)进行堆排序,直到下面这个结果:

图解堆排序,详细除元素9以外剩下的元素排序

代码:

/**
 * 第二步,交换堆顶(最大)元素和二叉堆的最后一个叶子节点元素。目的是交换元素
 * i从二叉堆的最后一个叶子节点元素开始,也就是len-1开始(数组下标从0开始)
 */
for(int i=len-1;i>=0;i--){
    int temp=arr[i];
    arr[i]=arr[0];
    arr[0]=temp;
    //交换完之后需要重新调整二叉堆,从头开始调整,此时Index=0
    HeapAdjust(arr,0,i);
}

注意:这里有个小细节问题,前面我们写的初始化堆方法有三个参数,分别是数组arr,当前节点index以及数组长度len,如下:

HeapAdjust(int[] arr,int index,int len)

那么,为何不直接传入两个参数即可,数组长度直接用arr.length表示不就行了吗?初始化堆的时候是可以,但是后面在交换堆顶元素和末尾的叶子节点时,在对剩下的元素进行排序时,此时的数组长度可不是arr.length了,应该是变化的参数i,因为交换之后的元素(比如9)就不计入堆中排序了,所以需要3个参数

我们进行第二次交换,我们直接将元素8与元素2交换,此时堆顶元素为2,设当前节点index=2;

图解堆排序,详细8与2交换

这时,我们需要将剩下的元素(排除元素9和8)进行堆排序,直到下面这个结果:

图解堆排序,详细除元素9和8以外剩下的元素排序

到这个时候,我们再重复上述步骤,不断调换堆顶和最末尾的节点元素即可,再不断地对剩下的元素进行排序,最后就能得到从小到大排序好的堆了,如下图所示,这就是我们想要的结果:

图解堆排序,详细最终排序结果:从小到大

3,完整代码

import java.util.Arrays;

public class Head_Sort {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr={4,2,8,0,5,7,1,3,9};
        System.out.println("排序前:"+Arrays.toString(arr));
        System.out.println("排序后:"+Arrays.toString(HeapSort(arr)));
    }

    //堆排序
    public static int[] HeapSort(int[] arr){
        int len=arr.length;
        /**
         * 第一步,初始化堆,最大堆,从小到大。目的是对元素排序
         * i从完全二叉树的第一个非叶子节点开始,也就是len/2-1开始(数组下标从0开始)
         */
        for(int i=len/2-1;i>=0;i--){
            HeapAdjust(arr,i,len);
        }
        /**
         * 第二步,交换堆顶(最大)元素和二叉堆的最后一个叶子节点元素。目的是交换元素
         * i从二叉堆的最后一个叶子节点元素开始,也就是len-1开始(数组下标从0开始)
         */
        for(int i=len-1;i>=0;i--){
            int temp=arr[i];
            arr[i]=arr[0];
            arr[0]=temp;
            //交换完之后需要重新调整二叉堆,从头开始调整,此时Index=0
            HeapAdjust(arr,0,i);
        }
        return arr;
    }

    /**
     *初始化堆
     * @param arr 待调整的二叉树(数组)
     * @param index 待调整的节点下标,二叉树的第一个非叶子节点
     * @param len 待调整的数组长度
     */
    public static void HeapAdjust(int[] arr,int index,int len){
        //先保存当前节点的下标
        int max = index;
        //保存左右孩子数组下标
        int lchild = index*2+1;
        int rchild = index*2+2;
        //开始调整,左右孩子下标必须小于len,也就是确保index必须是非叶子节点
        if(lchild<len && arr[lchild] > arr[max]){
            max=lchild;
        }
        if(rchild<len && arr[rchild] > arr[max]){
            max=rchild;
        }
        //若发生了交换,则max肯定不等于index了。此时max节点值需要与index节点值交换,上面交换索引值,这里交换节点值
        if(max!=index){
            int temp=arr[index];
            arr[index]=arr[max];
            arr[max]=temp;
            //交换完之后需要再次对max进行调整,因为此时max有可能不满足最大堆
            HeapAdjust(arr,max,len);
        }
    }
}

运行结果:

图解堆排序,详细运行结果

4,算法分析

4.1,时间复杂度

建堆的时候初始化堆过程(HeapAdjust)是堆排序的关键,时间复杂度为O(log n),下面看堆排序的两个过程;

第一步,初始化堆,这一步时间复杂度是O(n)

第二步,交换堆顶元素过程,需要用到n-1次循环,且每一次都要用到(HeapAdjust),所以时间复杂度为((n-1)*log n)~O(nlog n)

最终时间复杂度:O(n)+O(nlog n),后者复杂度高于前者,所以堆排序的时间复杂度为O(nlog n);

4.2,空间复杂度

空间复杂度是O(1),因为没有用到额外开辟的集合空间。

4.3,算法稳定性

堆排序是不稳定的,比方说二叉树[6a,8,13,6b],(这里的6a和6b数值上都是6,只不过为了区别6所以这样)经过堆初始化后以及排序过后就变成[6b,6a,8,13];可见堆排序是不稳定的。

END

好了,今天就先分享到这里了,下期继续给大家带来其他排序算法内容!更多干货、优质文章,欢迎关注我的原创技术公众号~

本文分享自微信公众号 – 程序员的时光(gh_9211ec727426)。
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