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线性差分方程解法

开发技术 开发技术 1周前 (07-21) 9次浏览

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目录
  • 前言
  • 一、差分方程的解
    • 1.定义
    • 2.特解与通解
    • 3.初始条件
  • 二、基本定理
    • 1.一般形式
    • 2.定理一
    • 3.定理二
    • 3.定理三
    • 4.定理四
  • 三、一阶线性差分方程
    • 1.齐次
      • (1)一般形式
      • (2)解法
    • 2.非齐次
      • 情形一
        • (1)$rho$不是特征根
        • (2)$rho$是特征根
      • 情形二
        • (1)$delta$不是特征根
        • (1)$delta$是特征根
  • 四、二阶线性差分方程
    • 1.齐次
      • (1)一般形式
      • (2)解法
    • 2.非齐次

前言

本文将介绍一、二阶线性差分方程的常见形式和基本解法。


一、差分方程的解

1.定义

若把一个函数(y_t=f(t))代入差分方程中,使其成为恒等式,则称(y_t=f(t))为差分方程的解。

2.特解与通解

通解:含有任意常数的个数与差分方程的阶数一致的解。
特解:给任意常数以确定值的解。

3.初始条件

用以确定通解中任意常数的条件称为初始条件。
一阶差分方程有一个初始条件(y_0=a_0),二阶有两个,以此类推。

二、基本定理

以二阶差分方程为例,其它阶同理。

1.一般形式

[y_{t+2}+a(t)y_{t+1}+b(t)y_t=f(t)
]

其中(a(t),b(t),f(t))均为(t)的已知函数且(b(t)neq0)

2.定理一

(y_1(t),y_2(t))是二阶齐次线性差分方程的解,则(C_1y_1(t)+C_2y_2(t))也是该二阶齐次方程的解,其中(C_1,C_2)是任意常数。

3.定理二

(y_1(t),y_2(t))是二阶齐次线性差分方程的线性无关特解,则

[C_1y_1(t)+C_2y_2(t)
]

是该方程的通解,其中(C_1,C_2)是任意常数。

3.定理三

(y^*(t))是二阶非齐次线性差分方程的特解,(y_C(t))是对应齐次线性差分方程的通解,则非齐次线性差分方程的通解为

[y(t)=y^*(t)+y_C(t)
]

4.定理四

若函数(y_1^*(t),y_2^*(t))分别是二阶非齐次线性差分方程:

[y_{t+2}+a(t)y_{t+1}+b(t)y_t=f_1(t)\
y_{t+2}+a(t)y_{t+1}+b(t)y_t=f_2(t)
]

(y_1^*(t)+y_2^*(t))是二阶非齐次线性差分方程

[y_{t+2}+a(t)y_{t+1}+b(t)y_t=f_1(t)+f_2(t)
]

三、一阶线性差分方程

1.齐次

(1)一般形式

[y_{t+1}+ay_t=0
]

(2)解法

很明显,这是个等比数列,所以容易得出一个特解

[y_(t)=(-a)^t
]

通解为

[y_(t)=C(-a)^t,C为任意常数
]

这里再引入特征方程的概念,以便解决更高阶的问题。
对于一阶齐次/非齐次方程,称一次代数式

[lambda +a=0
]

为差分方程的特征方程;特征方程的根为特征值或特征根。

2.非齐次

情形一

[f(t)=rho^tP_m(t),(rho>0)
]

其中(P_m(t))是形如

[A_m t^m+A_{m-1}t^{t-1}+…+A_0
]

(m)次多项式,

[A_m,A_{m-1},…,A_0
]

是已知常数。

(1)(rho)不是特征根

特定解的形式为

[y^*(t)=rho^tQ_m(t)
]

这里的(Q_m(t))是系数待定的(m)次多项式,将其带入差分方程中可解得特解。
由定理三可解出非齐次方程的通解。

(2)(rho)是特征根

特定解的形式为

[y^*(t)=rho^ttQ_m(t)
]

同理

情形二

[f(t)=rho^t(acostheta t+bsintheta t)
]

[delta=rho(costheta+isintheta)
]

(1)(delta)不是特征根

待定特解形式为

[rho^t(Acostheta t+Bsintheta t)
]

(1)(delta)是特征根

待定特解形式为

[rho^tt(Acostheta t+Bsintheta t)
]

四、二阶线性差分方程

1.齐次

(1)一般形式

[y_{t+2}+ay_{t+1}+by_t=f(t)quad a,b为已知常数且aneq0
]

(2)解法

特征方程有相异实根(lambda_1,lambda_2),通解为

[y_(t)=C_1(lambda_1)^t+C_2(lambda_2)^t
]

特征方程有同根(lambda_1,lambda_2),易知(lambda_1=lambda_2=-frac{a}{2}),有一个特解((-frac{a}{2})^t),通过验证可知(t(-frac{a}{2})^t)也是一个解,于是通解为

[(C_1+C_2t)(-frac{a}{2})^t
]

特征方程有共轭副根(alphapm ibeta)(alpha=-frac{2}{a},beta=sqrt{b-frac{a^2}{4}}),则有两个特解

[y_1(t)=r^tcosomega t\
y_2(t)=r^tsinomega t\
r=sqrt b\
tanomega=-frac{1}{a}sqrt{4b-a^2},omega in(0,pi)
]

通解为

[r^t(C_1cosomega t+C_2sinomega t)
]

2.非齐次

与一阶同理


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