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浅谈gamma函数

开发技术 开发技术 4天前 8次浏览

我们尝试将阶乘函数从整数域拓展到实数域,这时就需要一些手段来构造一个函数(f(x))满足对于(forall xin N,f(x)=x!)

[frac{1}{1-x}=sum_{i=0}^infty x^i\
]

这是易得的,考虑换种方式表现:

[int_{0}^{+infty}e^{nt}dt\=int_{0}^{+infty}e^xdfrac{x}{n}\=frac{1}{n}int_{0}^{+infty}e^xdx\=lim_{trightarrow +infty}frac{e^{nt}-1}{n}
]

(nleq 0)时,原式收敛于(-frac{1}{n})

是的,我们考虑用这东西来表示(frac{1}{1-x})

[frac{1}{1-x}=int_{0}^{+infty}e^{-t(1-x)}dt\=int_{0}^{+infty}e^{-t}e^{xt}dt\=int_{0}^{+infty}e^{-t}sum_{i=0}^{+infty}frac{(xt)^i}{i!}dt\=sum_{i=0}^{+infty}frac{int_{0}^{+infty}e^{-t}t^idt}{i!}x^i
]

对照最开头的式子,有没有发现什么?

所以我们得到了:

[n!=int_{0}^{+infty}e^{-x}x^ndx
]

也就是欧拉在(Large 22)岁时想出的做法(而这个问题是哥德巴赫在(tiny 38)岁时向伯努利请教的,碰巧欧拉和伯努利当时在一起。。。)

他所定义的(Gamma(x)=int_{0}^{+infty}e^{-t}t^{x-1}dt=(x-1)!)

(为什么不直接定义成(x!)呢?)

至于应用,之后找时间再填坑吧


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