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2021秋 数分B1笔记

开发技术 开发技术 4小时前 2次浏览

2021.9.13

由于某些原因,今天的笔记鸽了

今天讲的东西不多,就记一下最小数原理的证明好了 (Q omega Q)

我才不会告诉你我忘记带电脑了

最小数原理:集合 (mathbb{T} sub mathbb{N},mathbb{T} neq varnothing) ,那么 (mathbb{T}) 中有最小数。

证明:

构造集合 (mathbb{S} = {s | forall t in mathbb{T}, s leq t})

显然 $ 1 in mathbb{S} Rightarrow mathbb{S} neq varnothing$

又有 (forall t in mathbb{T}, t + 1 notin mathbb{S} Rightarrow mathbb{S} neq mathbb{N})

所以一定 (exist s_0 in mathbb{S}, s_0 + 1 notin mathbb{S}) (反证法,根据归纳公理显然)

下证 (s_0 in mathbb{T}) ,考虑反证

(s_0 notin mathbb{T}),又 (s_0 in mathbb{S}),所以有 (forall t in mathbb{T}, s_0 < t),则有 (forall t in mathbb{T},s_0 + 1 leq t Rightarrow s_0 + 1 in mathbb{S}) ,矛盾

(s_0 in mathbb{T})(forall t in mathbb{T}, s_0 leq t)(s_0) 则为 (mathbb{T}) 中的最小数,最小数原理得证

2021.9.15

实数

一、域的定义

(mathbb{F}) 是集合,具有

  • 加法 (forall x, y in mathbb{F}, x + y in mathbb{F})
  • 乘法 (forall x, y in mathbb{F}, x cdot y in mathbb{F})
  • (0)(forall x in mathbb{F},exist 0 in mathbb{F}, 0 + x in x)
  • 单位元 (exists 1 in mathbb{F}, 1 cdot x = x cdot 1 = x)
  • 负元 (forall x in mathbb{F}, exist -x in mathbb{F}, x + (-x) = 0)
  • 满足交换律,结合律,交换律

则称 (mathbb{F}) 为一个域

二、有序域

(mathbb{F}) 是一个域,若满足 (forall x, y in mathbb{F}, x < y, x > y, x = y) 有且仅有一种成立,则 (mathbb{F}) 有序,称为有序域

复数域 (mathbb{C}) 不是有序域,复数的乘法运算与有序的定义不兼容

三、有界的定义

(mathbb{E} sub mathbb{F}) ,若 (exists beta in mathbb{F},forall alpha in mathbb{E}) ,有 (alpha leqslant(geqslant) beta),则称 (beta)(mathbb{E}) 的上(下)界

四、确界的定义

(mathbb{E} sub mathbb{F}) 有上界,若在 (mathbb{F})(mathbb{E}) 有最小(大)的上(下)界,则称为上(下)确界,记为 (sup mathbb{E} in mathbb{F}) 或者 (inf mathbb{E} in mathbb{F})

五、确界原理

(mathbb{F}) 中任意有上(下)界子集 (mathbb{E})(mathbb{F}) 中一定有上(下)确界,则称 (mathbb{F}) 满足上(下)确界原理

定理:若 (mathbb{F}) 满足上确界原理,则 (mathbb{F}) 满足下确界原理

证明:

(mathbb{F}) 满足上确界原理,要证 (forall mathbb{E} sub mathbb{F})(mathbb{E}) 有下界则一定有下确界

构造 (mathbb{E}^prime = {beta |beta)(mathbb{E}) 的下界(} sub mathbb{F})

定理:存在满足确界原理的有序域

且以 (mathbb{Q}) 为其子集的有序域记为 (mathbb{R}) ,称为实数域

构造性证明,(text{Dedekind}) 分割2021秋 数分B1笔记

实数的特点

  1. 与数轴上的点一一对应
  2. (mathbb{R}) 是不可数的

(text{Archimedes}) 原理:

(forall x, y in mathbb{R}) ,若 (x > 0),则 (exist n in mathbb{N}),使得 (nx > y geqslant (n – 1)x)

(mathbb{Q})(mathbb{R}) 中稠密:

(forall x, y in mathbb{R}, x < y),一定 (exists z in mathbb{Q},) 使得 (x < z< y)

(text{Archimedes}) 原理证明:

(mathbb{E} = {nx | n in mathbb{N}} sub mathbb{R})

(反证)假如对 $forall n,nx leqslant y Rightarrow y $ 是 (mathbb{E}) 上界 (Rightarrow mathbb{E}) 有上确界

(alpha = sup mathbb{E} in mathbb{R} Rightarrow alpha – x < alpha Rightarrow alpha – x) 不是 (mathbb{E}) 的上界

(exists mx in mathbb{E}),使得 (alpha – x < mx Rightarrow alpha < (m + 1)x in mathbb{E}) 矛盾

所以 (exists n_0) 使得 (n_0x > y)

(mathbb{S} = {n | nx > y} neq varnothing)

(exists) 最小的 (n)(nx > y geqslant (n – 1)x)

通过 (text{Archimedes}) 原理证明两实数间存在另一有理数:

(forall x, y in mathbb{R}, x < y Rightarrow y – x > 0)

根据 (text{Archimedes}) 原理,(exists n),使得 (n(y – x) > 1 Rightarrow ny > 1 + nx)

再对 (1)(nx) 应用 (text{Archimedes}) 原理

(exists m) 使得 (m cdot 1 > nx geqslant (m – 1) cdot 1 Rightarrow mx < m leqslant nx + 1 < ny)

(Rightarrow x < frac{m}{n} < y)(frac{m}{n} in mathbb{Q})

无限小数

(forall x > 1, x in mathbb{R})

根据 (text{Archimedes}) 原理,(exists a_0 in mathbb{N},a_0 leqslant x < a_0 + 1)

同上,(exists a_1 in mathbb{N}, a_1 leqslant 10(x – a_0) < a_1 + 1(0 leqslant a_1 leqslant 9))

(Rightarrow a_0 + frac{a_1}{10} leqslant x < a_0 + frac{a_1}{10} + 1)

以此类推:(a_0 + frac{a_1}{10} + cdots + frac{a_n}{10^n} leqslant x < a_0 + frac{a_1}{10} + cdots + frac{a_n}{10^n} + 1)


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