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Schwarz inequality(施瓦茨不等式)一个简洁证明的思路分析

开发技术 开发技术 3小时前 2次浏览

Schwarz inequality(施瓦茨不等式)一个简洁证明的思路分析

上图是 Walter Rudin 所著的《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis)里对施瓦茨不等式的一个简洁证明。因为跨页没有拍全,后页还有如下三行:

        Since each term in the first sum  is nonnegative, we see that

                                     B(AB – |C|2) ≥ 0.

        Since B > 0, it follows that AB – |C|2 ≥ 0. This is the desired inequality.

这个证法简洁而巧妙,可这个思路是怎么来的呢?从正向看,很难解释怎么会想到构建 |Baj – Cbj|2。从反向来看一下:

显然,所要证明的结论等价于

       AB – |C|2 ≥ 0          ①

A 和 B 形式一致,即都是 n 个实数的平方之和,因此 AB 展开会得到 n2 个 |ai|·|bj|(即 |aibj|)形式的实数的平方之和。C 是 n 个aj·bj¬(由于编辑器的限制,打不出上划线,这里用 b¬ 表示复数 b 的共轭复数)形式的复数之和,|C|2 = C·C¬,对 C·C¬ 做进一步的展开处理可能也是一个思路,但是会相当繁琐。 初步判断,试图通过展开的方式去证明 ① 应该是比较困难的。

由 ①,两边同乘 B 有,B(AB – |C|2) ≥ 0,即

       B2A – B|C|2 ≥ 0       ②

在 ② 中,把 B2 看成一个整体,则

       B2A = B2(|a1|2 + … + |an|2)  = (B·|a1|)2 + … + (B·|an|)2

即 B2A 可以展开成 n 个 B·|aj| 形式的实数的平方之和。

同样,把 |C|2 看成一个整体,B|C|2 可以展开成 n 个 |C|·|bj| 形式的实数的平方之和,即

       B|C|2 = (|C|·|b1|)2 + … + (|C|·|bn|)2

这样 ② 的左端可以展开成 n 个 (B·|aj|)2 – (|C|·|bj|)2 形式的平方差之和,但要证明这样的每个平方差都不小于 0 应该是不可行的。

对 ② 的左端继续做以下处理:

     B2A – B|C|2 = B2A – B|C|2 – B|C|2 + B|C|2 = 

     B2A – BC·C¬ – B·C¬·C + |C|2·B  ≥ 0       ③

③ 中,B2A、-BC·C¬、-BC¬·C、|C|2·B 分别可展开为:

      B2A = B2·a1a1¬   + … +  B2·anan¬

-BC·C¬ = -BC·a1¬b1  – …  – BC·an¬bn

-BC¬·C = -BC¬·a1b1¬ – … – BC¬·anbn¬

 |C|2·B  = CC¬·b1b1¬  + … + CC¬·bnbn¬

从纵向看,有

B2·ajaj¬ – BC·aj¬bj – BC¬·ajbj¬ + CC¬·bjbj¬ = (B·aj – C·bj)(B·aj¬ – C¬·bj¬)

=  (B·aj – C·bj)·(B·aj – C·bj)¬ = |B·aj – C·bj|2 

于是有

B2A – B|C|2 = Σ|B·aj – C·bj|2

至此,这个证明思路才算理清楚了。

上面的施瓦兹不等式中,左端的 bj¬ 可以换成 bj,即 C = Σajbj,依然会有 |C|2 ≤ AB 成立。这是因为 |bj¬| = |bj|,继而有 Σ|bj¬|2 = Σ|bj|2 = B.

来看一下这个不等式在实数范畴的形式:

a1, a2, …, an 和 b1, b2, …, bn 为两组实数,则有 (Σajbj)2 ≤ Σaj2·Σbj2,该结论还可以强化为

(Σ|ajbj|)2 ≤ Σaj2·Σbj2      ④

以下尝试用上面的证明思路来证明 ④。不妨假设 aj,bj 均为非负实数,记 A = Σaj2,B = Σbj2,C = Σajbj,于是 ④ 等价于 AB – C2 ≥ 0

当 A = 0 时,有 aj = 0,④ 显然成立。考虑 A > 0,则 ④ 等价于 A2B – AC2 ≥ 0.

A2B – AC2 = A2B – 2AC2 + AC2

A2B、-2AC2、AC2 分别可展开为:

       A2B = A2·b12   + … + A2·bn2

-2AC2 = -2AC·a1b1 – … – 2AC·anbn

      AC2 = C2·a12  + … + C2·an2

从纵向看,有

A2·bj2 -2AC·ajbj  + C2·aj2 = (Abj– Caj)2,于是有

A2B – AC2 = Σ(Abj– Caj)2 ≥ 0.

故 ④ 成立。


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