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《信号与系统》(二)

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四、傅里叶变换与频率分析

周期信号的傅里叶级数

1.信号的正交分解

完备正交集:(1)三角函数级({1, cos(nOmega t),sin(nOmega t),n=1,2,…})

​ (2)虚指数函数集({e^{jnOmega t},n=0,pm1,pm2,…})

任意信号f(t)可以表示为无穷多个正交函数之和:

[f(t)=C_{1} varphi_{1}(t)+C_{2} varphi_{2}(t)+cdots+C_{i} varphi_{i}(t)+cdots=sum_{i=1}^{infty} C_{i} varphi_{i}(t)
]

上式称为信号的正交展开式,也称为广义傅里叶级数。

2.帕斯瓦尔定理

帕斯瓦尔方程:(int_{t_{1}}^{t_{2}} f^{2}(t) mathrm{d} t=sum_{i=1}^{infty} int_{t_{1}}^{t_{2}}left[C_{i} varphi_{i}(t)right]^{2} mathrm{~d} t)

信号的能量 = 各正交分量的能量,即能量守恒定理

3.三角形式的傅里叶级数

设周期信号(f(t)),其周期为T,角频率(Omega = 2 pi/T),当满足狄里赫利条件时,可展开为三角形式的傅里叶级数。

(f(t)=frac{a_{0}}{2}+sum_{n=1}^{infty} a_{n} cos (n Omega t)+sum_{n=1}^{infty} b_{n} sin (n Omega t))

直流分量+n次余弦分量+n次正弦分量

狄里赫利条件:在一个周期内,①函数连续或只有有限个第一类间断点,②函数极大值和极小值的数目应为有限个,③函数绝对可积

余弦形式的傅里叶级数:(f(t)=frac{A_{0}}{2}+sum_{n=1}^{infty} A_{n} cos left(n Omega t+varphi_{n}right))
(left{begin{array}{l}A_{n}=sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}} \ varphi_{n}=-arctan frac{b_{n}}{a_n}end{array} quadleft{begin{array}{l}a_{n}=A_{n} cos varphi_{n} \ b_{n}=-A_{n} sin varphi_{n}end{array}right.right.)

直流分量+基波(一次谐波)+二次谐波+……n次谐波

吉布斯线性:用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时,在间断点附近不可避免的会出现振荡和超调量。当选取的项数很大时,该超调量趋于一个常数,大约等于总跳变值的9%,并从间断点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。

4.周期信号波形对称性和谐波特性

(f(t))为偶函数,(b_n)=0,展开为余弦级数

(f(t))为奇函数,(a_n)=0,展开为正弦级数

(f(t))为奇谐函数(f(t)=-f(tpm T/2)),傅里叶级数只含奇次谐波(a_0=a_2=…=b_2=b_4=0)

(f(t))为偶谐函数(f(t)=f(tpm T/2)),傅里叶级数只含偶次谐波(a_1=a_3=…=b_1=b_3=0)

周期信号的频谱

1.指数形式的傅里叶级数

(f(t)=sum_{n=-infty}^{infty} F_{n} mathrm{e}^{j n Omega t})

傅里叶系数:(F_{n}=frac{1}{T} int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}} f(t) mathrm{e}^{-j n Omega t} mathrm{~d} t)

表明:任意周期信号(f(t))可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。(F_n)是频率为(nOmega)的分类的系数。(F_0 = A_0/2)为直流分量。

与三角形式的傅里叶系数的关系:(F_{n}=left|F_{n}right| e^{j varphi_{n}}=frac{1}{2} A_{n} e^{j varphi_{n}}=frac{1}{2}left(a_{n}-j b_{n}right))

2.周期信号的频谱

频谱:周期信号分解后,各分量的幅度和相位对于频率的变化,分为幅度谱和相位谱

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3.单边谱和双边谱的关系

(cos n Omega t=frac{1}{2}left(e^{j mu Omega t}+e^{-j n Omega t}right))
(F_{n}=left|F_{n}right| e^{j varphi_{n}}=frac{1}{2} A_{n} e^{j varphi_{n}})
(left|F_{n}right|=frac{1}{2} A_{n} quad varphi_{n}=-arctan frac{b_{n}}{a_{n}})

(|F_n|)是n的偶函数,双边幅度谱的谱线高度为 单边幅度谱的一半,且关于纵轴对称;而直流分量值不变。(varphi_n)是n的奇函数,双边相位谱可以由单边相位谱直接关于零点奇对称。

4.周期信号频谱的特点

①离散型,以基频(Omega)为间隔的若干离散谱线组成

②谐波性:谱线仅含有基频(Omega)的整数倍分量

③收敛性:整体趋势减小

周期矩形脉冲:

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周期信号频谱的特点

1.周期信号的功率

周期信号一般是功率信号,平均功率为:

(begin{aligned} P &=frac{1}{T} int_{-frac{tau}{2}}^{frac{7}{2}} f^{2}(t) d t=frac{1}{T} int_{-frac{pi}{2}}^{frac{tau}{2}}left[frac{A_{0}}{2}+sum_{n=1}^{infty} A_{n} cos left(n Omega t+varphi_{n}right)right]^{2} d t \ &=left(frac{A_{0}}{2}right)^{2}+sum_{n=1}^{infty} frac{1}{2} A_{n}^{2}=left|F_{0}right|^{2}+2 sum_{n=1}^{infty}left|F_{n}right|^{2}=sum_{n=-infty}^{infty}left|F_{n}right|^{2} end{aligned})

这是帕斯瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体实现,周期信号平均功率=直流和谐波分量平均功率之和,对于周期信号,在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率相同。

频带宽度:在满足一定失真条件下,信号可以用某段频率范围的信号来表示,此频率范围称为频带宽度。①一般把第一个零点作为信号的频带宽度②对于一般周期信号,将幅度下降为(frac{1}{10}|F_n|_{max})的频率区间定义为频带宽度。③系统的通频带>信号的带宽,才能不失真。

2.非周期信号的频谱

(T to infty)时,周期信号→非周期信号;

(F_{n}=frac{1}{T} int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}} f(t) mathrm{e}^{-j n Omega t} mathrm{~d} t) → 0;

谱线间隔(Omega) →0

离散频谱→连续频谱

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虽然各频率分量的幅度趋近于无穷小,但无穷小量之间仍有相对大小差别,故引入频谱密度函数。

频谱密度函数 (T to infty)(Omega to d omega , nOmega to omega)

(begin{aligned} F(j omega)=lim _{T rightarrow infty} frac{F_{n}}{1 / T} &=lim _{T rightarrow infty} F_{n} T text { (单位频谱上的频谱) }\ &=lim _{T rightarrow infty} int_{-frac{1}{2}}^{frac{T}{2}} f(t) mathrm{e}^{-j n Omega t} mathrm{~d} t \ &=int_{-infty}^{infty} f(t) mathrm{e}^{-j omega t} mathrm{~d} t end{aligned})

称为频谱密度函数,简称频谱密度或频谱

3.傅里叶变换

(F(j omega)=int_{-infty}^{infty} f(t) e^{-j omega t} d t)

(F(jomega))称为(f(t))的傅里叶变换,(F(jomega))一般是复函数,写为(F(jomega) = |F(jomega)|e^{jvarphi(omega)})

(|F(jomega)|sim omega)幅度频谱,频率(omega)的偶函数,(varphi(omega)sim omega)相位频谱,频率(omega)的奇函数

傅里叶反变换:(f(t)=frac{1}{2 pi} int_{-infty}^{infty} F(j omega) e^{j omega t} d omega)

(begin{aligned} &F(j omega)=mathscr{F}[f(t)] \ &f(t)=mathscr{F}^{-1}[F(j omega)] end{aligned})(f(t) leftrightarrow F(j omega))

傅里叶变换的充要条件:(所有能量信号都满足此条件)

(int_{-infty}^{infty}|f(t)| mathrm{d} t<infty)

傅里叶变换及性质

1.常用函数的傅里叶变换

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2.线性

(f_{1}(t) leftrightarrow F_{1}(j omega), quad f_{2}(t) leftrightarrow F_{2}(j omega))

(a f_{1}(t)+b f_{2}(t) leftrightarrow a F_{1}(j omega)+b F_{2}(j omega))

3.奇偶性

(f(t) leftrightarrow F(j omega))(f(-t) leftrightarrow F(-j omega))

4.对称性

(f(t) leftrightarrow F(j omega))(F(j t) leftrightarrow 2 pi f(-omega))

5.尺度变换特性

(f(t) leftrightarrow F(j omega))(f(a t) leftrightarrow frac{1}{|a|} Fleft(j frac{omega}{a}right)),a为非零实数

信号的持续时间与信号占有频带成反比

6.时移特性

(f(t) leftrightarrow F(j omega))(fleft(t pm t_{0}right) leftrightarrow e^{pm j omega_{0}} F(j omega), t_{0}) 为实常数。

(F(j omega)=|F(j omega)| e^{j varphi(omega)})(fleft(t pm t_{0}right) leftrightarrow|F(j omega)| cdot e^{jleft[varphi(omega) pm omega t_{0}right]})

7.频移特性

(f(t) leftrightarrow F(j omega))(e^{mp j omega_0 t} f(t) leftrightarrow Fleft[jleft(omega pm omega_{0}right)right])(w_0)为实常数,注意(pm)

实质是频谱搬移

8.卷积定理

时域卷积定理:若 (f_{1}(t) leftrightarrow F_{1}(j omega), quad f_{2}(t) leftrightarrow F_{2}(j omega))(f_{1}(t) * f_{2}(t) leftarrow F_{1}(j omega) F_{2}(j omega))

频域卷积定理:若 (f_{1}(t) leftrightarrow F_{1}(j omega), quad f_{2}(t) leftrightarrow F_{2}(j omega))(f_{1}(t) f_{2}(t) leftarrow rightarrow frac{1}{2 pi} F_{1}(j omega)^{*} F_{2}(j omega))

9.时域微积分特性

(f(t)leftrightarrow F(j omega))

时域微分:(f^{(n)}(t) leftarrow rightarrow(j omega)^{n} F(j omega))

时域积分:(int_{-infty}^{t} f(x) mathrm{d} x leftarrow rightarrow F(0) delta(omega)+frac{F(j omega)}{j omega}) 其中(F(0)=left.F(j omega)right|_{omega=0}=int_{-infty}^{infty} f(t) mathrm{d} t)

10.频域微积分特性

(f(t)leftrightarrow F(j omega))

频域微分:((-jt)^nf(t) leftarrow rightarrow F^{(n)}(j omega))

频域积分:(pi f(0) delta(t)+frac{f(t)}{-j t} leftarrow rightarrow int_{-infty}^{omega} F(j x) mathrm{d} x) 其中(f(0)=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty} F(jomega) mathrm{d} omega)

11.相关定理

(f_{1}(t) leftrightarrow F_{1}(j omega), quad f_{2}(t) leftrightarrow F_{2}(j omega))
则 F (left[R_{12}(tau)right] leftrightarrow F_{1}(j omega) F_{2}^{*}(j omega), mathrm{F}left[R_{21}(tau)right] leftrightarrow F_{1}^{*}(j omega) F_{2}(j omega))

周期信号的傅里叶变换

1.能量谱

能量信号,能量有限信号:(E =lim_{Tto infty} int^T_{-T}|f(t)|^2 dt)

能量方程:(E=lim _{T rightarrow infty} int_{-T}^{T}|f(t)|^{2} mathrm{~d} t=int_{-infty}^{infty}|f(t)|^{2} mathrm{~d} t=frac{1}{2 pi} int_{-infty}^{infty}|F(j omega)|^{2} mathrm{~d} omega)

能量密度谱(E(omega)):单位频率的信号能量,简称为能量频谱或能量谱

能量有限信号的能量谱(E(omega))与自相关函数(R(tau))是一对傅里叶变换

(R(tau)=int_{-infty}^{infty} f(t) f(t-tau) mathrm{d} t) (E(omega) = |F(jomega)|^2)

2.功率谱

功率信号,信号功率有限:(P stackrel{d e f}{=} lim _{T rightarrow infty} frac{1}{T} int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}}|f(t)|^{2} mathrm{~d} t)

若信号能量E有限,则P=0;若信号功率P有限,则(E=infty)

功率密度谱:单位频率的信号功率:(mathrm{P}(omega)=lim _{T rightarrow infty} frac{left|F_{T}(j omega)right|^{2}}{T})

维纳辛钦关系:功率有限信号的功率谱(P(omega))与自相关函数(R(tau))是一对傅里叶变换

(R(tau)=lim _{T rightarrow infty}left[frac{1}{T} int_{-frac{pi}{2}}^{frac{T}{2}} f(t) f(t-tau) mathrm{d} tright]) (P(omega)=lim _{T rightarrow infty} frac{left|F_{T}(j omega)right|^{2}}{T})

3.白噪声功率谱密度的估计

白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的随机噪声

(P_N(omega)=N) 功率密度谱是常数。

4.周期信号的傅里叶变换

周期信号→傅里叶级数,离散谱

非周期信号→傅里叶变换,连续谱

周期信号(f_T(t))的频谱由冲激序列组成

[f_{T}(t)=sum_{n=-infty}^{infty} F_{n} mathrm{e}^{j n Omega t} leftrightarrow F_{T}(j omega)=2 pi sum_{n=-infty}^{infty} F_{n} delta(omega-n Omega)
]

(F_{n}=frac{1}{T} int_{-frac{T}{2}}^{frac{T}{2}} f(t) e^{-j n Omega t} d t)

LTI系统的频域分析

1.基本信号(e^{jwt})作用于LTI系统的响应

本章的响应指零状态响应

(y(t)=H(j omega) cdot mathrm{e}^{j omega t} = h(t)*e^{jwt})

2.一般信号(f(t))作用于LTI系统的响应

(Y(jomega)=F(jomega)H(jomega))

3.傅里叶变换分析法

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4.傅里叶级数分析法

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三角形式傅里叶级数表示:《信号与系统》(二)

5.频率响应函数

(H(jomega)):系统零状态响应(y(t))的傅里叶变换(Y(jomega))与激励(f(t))的傅里叶变换(F(jomega))之比。即:(H(j omega)=frac{Y(j omega)}{F(j omega)})(H(j omega)=|H(j omega)| e^{j theta(omega)}=frac{|Y(j omega)|}{|F(j omega)|} e^{jleft[varphi_{y}(omega)-varphi_{f}(omega)right]})

(|H(jomega)|)称为幅频特性,是(omega)的偶函数

(theta(omega))称为相频特性,是(omega)的奇函数

求法:(1) (mathrm{H}(mathrm{j} omega)=mathrm{F}[h(mathrm{t})])
(2) (mathbf{H}(mathbf{j} omega)=mathbf{Y}(mathbf{j} omega) / mathbf{F}(mathbf{j} omega))

无失真传输和理想低通滤波器

1.无失真传输

系统对于信号的作用大体可分为两类,一类是信号的传输,一类是滤波。

信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比,只有幅度的大小和出现时间的先后不同,而没有波形上的变化。

(f(t))经过无失真传输后,输出信号(y(t)=K fleft(t-t_{d}right)),频谱(Y(j omega)=K e^{-j omega t_{d}} F(j omega))

无失真传输的条件:(1) 对 (h(t)) 的要求:

[h(t)=K deltaleft(t-t_{mathrm{d}}right)
]

(2)对 (mathrm{H}(mathrm{j} omega)) 的要求:

[mathbf{H}(mathbf{j} omega)=mathbf{Y}(mathbf{j} omega) / mathbf{F}(mathbf{j} omega)=mathbf{K e}^{-mathrm{j} omega t_{mathrm{d}}}
]

2.理想低通滤波器

《信号与系统》(二)

(H(j omega)=left{begin{array}{cl}mathrm{e}^{-j omega t_{d}}, & |omega|<omega_{C} \ 0, & |omega|>omega_{C}end{array}=g_{2 omega_{C}}(omega) mathrm{e}^{-j omega t_{d}}right.)

(|H(j omega)|= begin{cases}1, & |omega|<omega_{c} \ 0, & |omega|>omega_{c}end{cases})
(varphi(omega)=-j omega t_{d})

冲激响应:(begin{aligned} h(t) &=mathrm{F}^{-1}left[g_{2 omega_{c}}(omega) e^{-j omega t_{d}}right] \ &=frac{omega_{c}}{pi} mathrm{Sa}left[omega_{c}left(t-t_{d}right)right] end{aligned})

是物理不可实现的,是非因果滤波器

3.物理可实现系统的条件

时域特性:因果条件 (h(t)=0,t<0)

频域特性:佩利-维纳准则(必要条件):

[int_{-infty}|H(j omega)|^{2} d omega<infty
]

平方可积条件
并且 (int_{-infty}^{infty} frac{|ln | H(mathrm{j} omega) |}{1+omega^{2}} mathrm{~d} omega<infty)

取样定理

1.信号的取样

(f_s(t) = f(t)s(t)),取样间隔(T_s),取样频率(f_s = 1/T_s)

取样信号频谱(F_s(jomega)=frac{1}{2pi}F(jomega)*S(jomega))

矩形脉冲取样:

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脉冲取样

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(omega_{mathrm{s}} geqslant 2 omega_{mathrm{m}}),此时频谱不发生混叠,可以利用低通滤波器从(F_s(jomega))中提取(F_(jomega))

2.取样定理(时域)

一个频谱在区间((-omega_m,omega_m))以外为0的带宽信号(f(t)),可唯一地由其在均匀间隔(T_s[T_s<1/(2f_m)])上的样值点(f(nT_s))确定。

最低允许的取样频率(奈奎斯特频率)(f_s=2f_m)

3.取样定理(频域)

一个在时域区间((-t_m,t_m))以外为0的时限信号(f(t))的频谱函数(F(jomega)),可唯一地由其在均匀频谱间隔(f_s[f_s<1/(2f_m)])上的样点值(F(jnomega_s))确定。

(F(j omega)=sum_{n=-infty}^{infty} Fleft(j frac{n pi}{t_{m}}right) operatorname{Sa}left(omega t_{m}-n piright), quad t_{m}=frac{1}{2 f_{s}})

离散傅里叶变换

1.傅里叶变换中连续到离散的演化

DTFT离散时间傅里叶变换(X(j omega)=sum_{n=-infty}^{infty} x[n] e^{-j omega n})

缺点:时域序列的长度仍然是无限长,信号在频域仍然是连续的。

DFT离散傅里叶变换(X[k]=sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j frac{2 pi}{N} n k})

DFS离散傅里叶级数(tilde{X}(j k Omega)=frac{1}{N} sum_{n=0}^{N-1} tilde{x}(n) e^{-j k Omega n})

2.五种傅里叶变换的比较

《信号与系统》(二)

《信号与系统》(二)

3.离散傅里叶变换定义(DFT)

定义:对于一个长度为N的离散信号(x[n],n=0,…,N-1),其离散傅里叶变换(DFT)为:(X[k]=sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_{N}^{n k}, quad k=0, …, N-1)

其中:(W_{N}=e^{-j frac{2 pi}{N}})

离散傅里叶反变换:若(X[k],k=0,…,N-1)为长度为N的离散傅里叶变换系数序列,则称:(x[n]=frac{1}{N} sum_{k=0}^{N-1} X[k] W_{N}^{-n k}, quad n=0, …, N-1)

(X{k})的离散傅里叶反变换

物理意义:离散傅里叶变换是将一个有限信号(x[n])表示成了N个离散正弦分量的加和,每个正弦分量的振幅和初始相位由系数(X[k])给出。


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