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不等式专项

开发技术 开发技术 2022-07-17 次浏览

1. 重要不等式

(a^2+b^2ge 2ab)

2. 基本不等式

(age0,bge0,dfrac{a+b}{2}gesqrt{ab})

3. 均值不等式

(dfrac{2}{frac1a+frac1b}lesqrt{ab}ledfrac{a+b}{2}lesqrt{dfrac{a^2+b^2}{2}})

当且仅当 (a=b) 时等号成立。

拓展:

(text{调和均值:}H_{n}=dfrac{n}{sum limits_{i=1}^{n}frac{1}{x_{i}}}= dfrac{n}{frac{1}{x_{1}}+ frac{1}{x_{2}}+ cdots + frac{1}{x_{n}}} \)

(text{几何均值:}G_{n}=sqrt[n]{prod limits_{i=1}^{n}x_{i}}= sqrt[n]{x_{1}x_{2}cdots x_{n}} \)

(text{算数均值:}A_{n}=dfrac{1}{n}sum limits_{i=1}^{n}x_{i}=dfrac{x_{1}+ x_{2}+ cdots + x_{n}}{n} \)

(text{平方均值:}Q_{n}=sqrt{dfrac{1}{n} sum limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}= sqrt{dfrac{x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+ cdots + x_{n}^{2}}{n}} \)

(H_{n}leq G_{n}leq A_{n}leq Q_{n})

当且仅当 (a_1=a_2=cdots =a_n) 时等号成立。

对数不等式

柯西不等式

琴生不等式

排序不等式

程序员灯塔
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