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分解质因数

开发技术 开发技术 2022-07-23 次浏览

分解质因数

给定 $ n $ 个正整数 $ a_i $,将每个数分解质因数,并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

输入格式

第一行包含整数 $ n $。

接下来 $ n $ 行,每行包含一个正整数 $ a_i $。

输出格式

对于每个正整数 $ a_i $,按照从小到大的顺序输出其分解质因数后,每个质因数的底数和指数,每个底数和指数占一行。

每个正整数的质因数全部输出完毕后,输出一个空行。

数据范围

$ 1 ≤ n ≤ 100 $,

$ 2 ≤ a_i ≤ 2 times 10^9 $

输入样例:

2
6
8

输出样例:

2 1
3 1

2 3

想法

Q1:质因数是什么?

A1:字面意思,一个数的质因数就是它质数的因数。

Q2:分解质因数是什么?

A2:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。

解法

众所周知x的质因数最多只有一个大于(sqrt x),通过反证法证明

如果有两个质因数大于(sqrt x),那么这两个数相乘必然大于x,不成立,因此x的质因数最多只有一个大于(sqrt x)

根据这个性质我们再对小数进行枚举,如果发现了因数就不断除它,统计一共除了多少次,最后输出

Q3:为什么不用判断质数,你不是说质因数是它质数的因数吗?

A3:因为当我们对小数除的时候,那些合数的部分肯定已经被小数除掉了,换句话说,当枚举到的是合数,它无数可除,因为它肯定是前面我们已经出过的质数的倍数。

也许看了代码更好理解呢?

码来!

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

void p(int a)
{
    for(int i = 2; i <= a / i; i ++) // 除小数
    {
        if(a % i == 0)
        {
            int cnt = 0; // 统计
            while(a % i == 0) a /= i, cnt++; // 能除就除到底
            printf("%d %dn", i, cnt);
        }
    }
    if(a > 1) printf("%d 1n", a); // 如果除完小数还有剩余,也就是说有大数
    return;
} 

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while(n--)
    {
        int a;
        scanf("%d", &a);
        p(a);
        puts(""); // 记得换行
    }
    return 0;
}
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