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数论——整除

开发技术 开发技术 2022-07-30 次浏览

设 $ a $ 是非零整数, $ b $ 是整数并且有 $ a times q = b $ 。记作 $ a | b $ 。

  1. 若 $ a | b $ 且 $ b | c $ ,则 $ a | c $ 。

  2. 若 $ a | b $ 且 $ a | c $ ,则 $ a | ( b times x + c times y ) $。

证明:

有 $$ a times q = b text{ , } a times p = c $$

则 $$ b times x = a times q times x text{ , } c times y = a times p times y $$

所以 $$ b times x + c times y = a times (q times x + p times y) $$

即 $$ a | ( b times x + c times y ) $$

  1. 若 $ a|b $ 且 $ m ne 0 $ ,则 $ (a times m)|(b times m) $ 。

  2. 若 $ a|n , b|n $ , 并满足 $ a times x + b times y = 1 $ ,则 $ (a times b ) | n $ 。

证明:

有 $$ a times q = n text{ , } b times p = n text{ , } a times x times n + b times y times n = n $$

所以 $$ a times x times b times p + b times y times a times q = n $$

所以 $$ a times b times (x times p + y times q) = n $$

所以 $$ (a times b ) | n $$

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