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工科数学分析 Chap. 1 习题 1.4.4

开发技术 开发技术 2022-10-15 次浏览

工科数学分析 Chap 1. 习题 1.4.4

Description

(xto 0) 时, 下列函数哪些是 (x) 的高阶无穷小? 哪些是 (x) 的同阶或等价无穷小? 哪些是 (x) 的低阶无穷小? 并指出无穷小的阶数.

(1). (x^4+sin 2x,xin mathbb{R});(quad)(2) (sqrt{x(1-x)},xin(0,1));(quad)(3). (dfrac{2}{pi}cosdfrac{pi}{2}(1-x), xinmathbb{R});

(4). (2xcos xsqrt[3]{tan^2 x},xinleft(-dfrac{pi}{2},dfrac{pi}{2}right));(quad)(5). (csc x-cot x,xin(0,pi)).

Solution

(1).

[limlimits_{xto 0}dfrac{x^4+sin 2x}{x}=lim_{xto 0} x^3+lim_{xto 0}dfrac{sin 2x}{x}=2 ]

故 (1) 式为 (x) 的同阶无穷小, 阶数为 (1).

(2).

[lim_{xto 0}dfrac{sqrt{x(1-x)}}{sqrt x}=lim_{xto 0}sqrt{(1-x)}=1 ]

故 (2) 式为 (x) 的低阶无穷小, 阶数为 (dfrac{1}{2}).

(3).

因为

[dfrac{2}{pi}cosdfrac{pi}{2}(1-x)=dfrac{2}{pi}sindfrac{pi}{2}x ]

故原式为

[lim_{xto 0}dfrac{2}{pi}sindfrac{pi}{2}x=dfrac{pi}{2}cdotdfrac{2}{pi}x=x ]

即 (3). 式为 (x) 的等价无穷小, 阶数为 1.

(4).

[lim_{xto 0} 2xcos xtan^{frac{2}{3}}x=lim_{xto 0}2xtan^{frac{2}{3}}x=lim_{xto 0}x^{frac{5}{3}} ]

故 (4). 式为 (x) 的高阶无穷小, 阶数为 (dfrac{5}{3}).

(5).

[lim_{xto 0}csc x-cot x=lim_{xto 0} dfrac{1-cos x}{sin x}=lim_{xto 0}dfrac{frac{1}{2}x^2}{x}=frac{1}{2}x ]

故 (5). 式为 (x) 的同阶无穷小, 阶数为 (1).

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