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工科数学分析 Chap.1 习题 1.4.6

开发技术 开发技术 2022-10-15 次浏览

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证明下列关系式:

(1). (arcsin x=x+o(x),xto 0);(quad)(2). (arctan x=x+o(x));(quad)(3). (sqrt[n]{1+x}=1+dfrac{1}{n}x+o(x),xto 0);

(4). (sqrt{1+tan x}-sqrt{1+sin x}simdfrac{1}{4}x^3,xto0);(quad)(5). (sqrt{x+sqrt{1+sqrt{x}}}simsqrt{x},xto+infty);(quad)(6). (1+cospi xsimdfrac{pi^2}{2}(x-1)^2,xto 1).

Solution

(1).

已知 (xto 0) 时有 (sin xsim x), 令 (y=sin x), 则 (yto 0), 且 (arcsin y=xsim y). 即当 (xto 0) 时, (arcsin x)(x) 是等价无穷小, 于是由书中定理 4.4 即得 (arcsin x = x+o(x)).

(2).

已知 (xto 0) 时有 (tan xsim x), 与 (1) 类似地有 (arctan xsim x), 于是有 (arctan x=x+o(x)).

(3).

[sqrt[n]{1+x}-1=dfrac{x}{(1+x)^frac{n-1}{n}+(1+x)^{frac{n-2}{n}}+cdots+1} ]

于是有

[lim_{xto 0}sqrt[n]{1+x}-1=dfrac{1}{n}x ]

[sqrt{1+x}= dfrac{1}{n}x+1+o(x) ]

(4).

[begin{aligned} lim_{xto 0}sqrt{1+tan x}-sqrt{1+sin x}&=lim_{xto 0}1+dfrac{1}{2}tan x-1-dfrac{1}{2}sin x+o(tan x)+o(sin x)\ &=lim_{xto 0}dfrac{1}{2}(tan x-sin x)+o(tan x)+o(sin x)\ &=lim_{xto 0}dfrac{1}{2}sin xleft(dfrac{1}{cos x}-1right)+o(tan x)+o(sin x)\ &=lim_{xto 0}dfrac{1}{2}x(1-cos x)+o(x)\ &=dfrac{1}{4}x^3+o(x) end{aligned} ]

因而 (sqrt{1+tan x}-sqrt{1+sin x}sim dfrac{1}{4}x^3,xto 0).

(5).

[lim_{xto+infty}dfrac{sqrt{x+sqrt{1+sqrt{x}}}}{sqrt{x}}=sqrt{1+sqrt{dfrac{1+sqrt x}{x}}}=sqrt{1+x^{-frac{1}{4}}}=1 ]

因此 (sqrt{x+sqrt{1+sqrt{x}}}simsqrt{x},xto+infty).

(6).令 (t=x-1), 则原式为

[1+cos(pi t-pi)=1-cos pi tsim dfrac{pi^2}{2}t^2,tto 0 ]

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