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常见的泰勒展开

开发技术 开发技术 2022-10-05 次浏览

常见的泰勒展开

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  • 常见的泰勒展开
    • 【1】 ☆☆☆ e的x次方
    • 【2】☆☆☆ sin x
    • 【3】☆☆☆ 1-x 分之 1
    • 【4】 cos x
    • 【5】 1+x 分之 1
    • 【6】ln(1+x)
    • 【7】1+x方 分之 1
    • 【8】arctan x
    • 【9】(单独) (1+x)的α次方
    • 【10】(单独) arcsin x
    • 【11】(单独) tan x

【1】 ☆☆☆ e的x次方

[e^x=1 + x + {x^2 over 2!} + {x^3 over 3!}+ {x^4 over 4!} + o(x^4) ]

【2】☆☆☆ sin x

[sin x=x-{x^3 over 3!}+{x^5 over 5!}-{x^7 over 7!} + o(x^7) ]

或者【更精确】

[sin x=x-{x^3 over 3!}+{x^5 over 5!}-{x^7 over 7!} + o(x^8) ]

【3】☆☆☆ 1-x 分之 1

[{1over 1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+ o(x^4) ]

【4】 cos x

将 【2】 左右两边同时求导得:

[cos x = 1-{x^2 over 2!}+{x^4 over 4!}-{x^6 over 6!} + o(x^6) ]

或者【更精确】

[cos x = 1-{x^2 over 2!}+{x^4 over 4!}-{x^6 over 6!} + o(x^7) ]

【5】 1+x 分之 1

将 【3】 内的x 替换为 -x 得

[{1over 1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4+ ... ]

【6】ln(1+x)

由于 $ (ln(1+x))' = {1over 1+x}$

将 【5】 求积分得

[ ln(1+x) = x - {x^2over 2} + {x^3over 3} - {x^4over 4} + ... ]

【7】1+x方 分之 1

将【5】内的 (x) 替换为 (x^2) 得:

[ {1 over 1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+x^8+... ]

【8】arctan x

由于 ((arctan x)' = {1 over 1+x^2})

将【7】 求积分得

[arctan x =x-{x^3 over 3}+{x^5 over 5}-{x^7 over 7} + {x^9 over 9} +... ]

【9】(单独) (1+x)的α次方

[(1+x)^alpha = 1+alpha x + {alpha(alpha-1)over 2!} cdot x^2 + {alpha(alpha-1)(alpha-2)over 3!} cdot x^3 +... ]

【10】(单独) arcsin x

[arcsin x = x + {x^3 over 6}+o(x^3) ]

【11】(单独) tan x

[tan x = x + {x^3 over 3}+o(x^3) ]

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