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积性函数

开发技术 开发技术 2022-10-06 次浏览

定义

如果定义在正整数域上的函数 (f(n)) 满足:

对于互质的 (p, q),有 (f(pq) = f(p)f(q))

那么我们说 (f(n)) 是积性函数

特别地,如果 (p, q) 是任意的,我们说 (f(n)) 是完全积性函数

常见的积性函数

  • 常函数 (1(n) = 1)
  • 单位函数 (id(n) = n)
  • 狄利克雷单位函数 (ε(n) = (n == 1)?1 : 0)
  • 约数和函数 (σ(n)),表示 (n) 的约数之和
  • 约数个数函数 (d(n)),表示 (n) 的约数个数
  • 欧拉函数 (varphi (n))
  • 莫比乌斯函数 (μ(n))

积性函数的乘积也是积性函数!

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