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高数(下) 第十二章:无穷级数

开发技术 开发技术 2022-10-05 次浏览

文章目录

  • Ch12. 无穷级数
    • (一) 常数项级数
      • 正项级数
      • 交错级数
      • 任意项级数
      • 4个特殊的常数项级数
      • 收敛级数的性质(针对任意项级数)
      • 常数项级数的审敛法
        • 1.正项级数审敛法
        • 2.交错级数审敛法 —— 莱布尼茨收敛定理
        • 3.常用于举反例的一般项
    • (二) 幂级数
      • 阿贝尔定理
      • 求 幂级数的 收敛半径、收敛区间、收敛域
      • 函数 f ( x ) f(x) f(x)展开为幂级数
      • 和函数S(x)
      • 泰勒级数(麦克劳林级数)
    • (三) 傅里叶级数
      • 三角级数
      • 傅里叶级数、傅里叶系数
      • 正弦级数、余弦级数
      • 狄利克雷收敛定理
      • 奇延拓、偶延拓、周期延拓

Ch12. 无穷级数

(一) 常数项级数

正项级数


交错级数


任意项级数


4个特殊的常数项级数

①等比级数

②p级数

③调和级数
∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + . . . = ∞ sumlimits_{n=1}^∞dfrac{1}{n}=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+...+dfrac{1}{n}+...=∞ n=1n1=1+21+31+...+n1+...=       发散


④交错调和级数
交错调和级数:收敛
交错p级数:收敛





收敛级数的性质(针对任意项级数)

(1)(2)加减数乘都收敛



例题:06年9.
高数(下) 第十二章:无穷级数

分析:ABC仅对正项级数成立。
举反例:
AB: a n = ( − 1 ) n ⋅ 1 n a_n=(-1)^n·dfrac{1}{n} an=(1)nn1

C: a n = ( − 1 ) n ⋅ 1 n a_n=(-1)^n·dfrac{1}{sqrt{n}} an=(1)nn 1
高数(下) 第十二章:无穷级数

答案:D






常数项级数的审敛法

1.正项级数审敛法

①充要条件

②比较审敛法
大的收敛,小的收敛;
小的发散,大的发散。


例题:09年4.  正项级数的比较审敛法、举反例
高数(下) 第十二章:无穷级数

分析:
对于A,取 a n = b n = ( − 1 ) n 1 n a_n=b_n=(-1)^ndfrac{1}{sqrt{n}} an=bn=(1)nn 1,则 a n b n = 1 n a_nb_n=dfrac{1}{n} anbn=n1,为调和级数,发散

对于C,用正项级数的比较审敛法证明C正确: lim ⁡ n → ∞ a n 2 b n 2 ∣ b n ∣ = lim ⁡ n → ∞ a n 2 ∣ b n ∣ = 0 ∴ ∣ b n ∣ limlimits_{n→∞}dfrac{a_n^2b_n^2}{|b_n|}=limlimits_{n→∞}a_n^2|b_n|=0 quad ∴|b_n| nlimbnan2bn2=nliman2bn=0bn更大。由比较审敛法,大的收敛,则小的 a n 2 b n 2 a_n^2b_n^2 an2bn2必收敛

答案:C


③比较审敛法极限形式

④比值法

⑤根值法

⑥极限审敛法

⑦积分判别法

⑧A-D判别法(任意项级数)

⑨绝对收敛必收敛 (任意项级数)




2.交错级数审敛法 —— 莱布尼茨收敛定理

莱布尼茨收敛定理:
若交错级数 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 u n sum_{n=1}^∞(-1)^{n-1}u_n n=1(1)n1un 满足 u n u_n un单调递减趋于0,则交错级数收敛
即满足 (1) u n ≥ u n + 1 u_n≥u_{n+1} unun+1  (2) lim ⁡ n → ∞ u n = 0 limlimits_{n→∞}u_n=0 nlimun=0.


例题:11年2.
高数(下) 第十二章:无穷级数

分析:显然 ∑ n = 1 ∞ a n ( x − 1 ) n sumlimits_{n=1}^∞a_n(x-1)^n n=1an(x1)n 的收敛中心为 x=1,故排除AB
代入x=2,得发散,所以2处应该为开区间,选C

答案:C





3.常用于举反例的一般项

a n = 1 n a_n=dfrac{1}{n} an=n1 a n = ( − 1 ) n ⋅ 1 n a_n=(-1)^n·dfrac{1}{n} an=(1)nn1

a n = ( − 1 ) n ⋅ 1 n a_n=(-1)^n·dfrac{1}{sqrt{n}} an=(1)nn 1


例题:09年4.





(二) 幂级数

e x = ∑ k = 0 ∞ x k k ! e^x=sumlimits_{k=0}^∞dfrac{x^k}{k!} ex=k=0k!xk

∴ e = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! = lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x ∴e=sumlimits_{k=0}^∞dfrac{1}{k!}=limlimits_{x→∞}(1+dfrac{1}{x})^x e=k=0k!1=xlim(1+x1)x


例题:10年14.   数字特征与幂级数
高数(下) 第十二章:无穷级数

答案:2



阿贝尔定理

当|x|<R时,幂级数绝对收敛;
当|x|>R时,幂级数发散;
当x = R或x = -R时,幂级数敛散性不定,可能收敛也可能发散.

正数R称为幂级数的收敛半径开区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间


例题:11年2.




求 幂级数的 收敛半径、收敛区间、收敛域

1.收敛半径R:
ρ = lim ⁡ n → ∞ ∣ a n + 1 a n ∣ R = 1 ρ ρ=limlimits_{n→∞}|dfrac{a_{n+1}}{a_n}|qquad qquad R=dfrac{1}{ρ} ρ=nlimanan+1R=ρ1
2.收敛区间: ( − R , R ) (-R,R) (R,R)         收敛区间是开区间
3.收敛域:在收敛区间的基础上,验证x=R和x=-R两个端点



函数 f ( x ) f(x) f(x)展开为幂级数



例题1:01年13.
高数(下) 第十二章:无穷级数

答案:




和函数S(x)

1.会标杆:重要的展开式
2.幂级数求导和积分要会

1.重要“标杆”:
∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + . . . + x n + . . . = 1 1 − x ( − 1 < x < 1 ) sumlimits_{n=0}^∞x^n=1+x+x²+x³+...+x^n+...=dfrac{1}{1-x} qquad (-1<x<1) n=0xn=1+x+x2+x3+...+xn+...=1x1(1<x<1)
及其变形:
∑ n = 1 ∞ x n = x + x 2 + x 3 + . . . + x n + . . . = x 1 − x ( − 1 < x < 1 ) ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n = 1 − x + x 2 − x 3 + . . . + ( − 1 ) n x n + . . . = 1 1 + x ( − 1 < x < 1 ) sumlimits_{n=1}^∞x^n=x+x²+x³+...+x^n+...=dfrac{x}{1-x} qquad (-1<x<1)\[3mm] sumlimits_{n=0}^∞(-1)^nx^n=1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n+...=dfrac{1}{1+x} qquad (-1<x<1) n=1xn=x+x2+x3+...+xn+...=1xx(1<x<1)n=0(1)nxn=1x+x2x3+...+(1)nxn+...=1+x1(1<x<1)

高数(下) 第十二章:无穷级数




例题1:05年16.  求收敛区间、和函数
高数(下) 第十二章:无穷级数

答案:
高数(下) 第十二章:无穷级数




泰勒级数(麦克劳林级数)

1 + x + x 2 + x 3 + . . . + x n + . . . = 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n ( − 1 < x < 1 ) 1 − x + x 2 − x 3 + . . . + ( − 1 ) n x n + . . . = 1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n ( − 1 < x < 1 ) e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n ( − ∞ < x < + ∞ ) 1+x+x²+x³+...+x^n+...=dfrac{1}{1-x}=sumlimits_{n=0}^∞x^n qquad (-1<x<1)\[5mm] 1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n+...=dfrac{1}{1+x}=sumlimits_{n=0}^∞(-1)^nx^n qquad (-1<x<1)\[5mm] e^x=sumlimits_{n=0}^∞dfrac{1}{n!}x^n qquad (-∞<x<+∞) 1+x+x2+x3+...+xn+...=1x1=n=0xn(1<x<1)1x+x2x3+...+(1)nxn+...=1+x1=n=0(1)nxn(1<x<1)ex=n=0n!1xn(<x<+)





(三) 傅里叶级数

三角级数

形如下式的级数叫做三角级数
a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n π t l ) + b n sin ⁡ n π t l ) frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^∞(a_ncosfrac{nπt}{l})+b_nsinfrac{nπt}{l}) 2a0+n=1(ancoslt)+bnsinlt)

π t l = x dfrac{πt}{l}=x lπt=x,三角级数可变为
a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x ) + b n sin ⁡ n x ) frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^∞(a_ncos nx)+b_nsin nx) 2a0+n=1(ancosnx)+bnsinnx)
这就把以 2 l 2l 2l 为周期的三角级数转换成以 2 π 2π 2π 为周期的三角级数。


傅里叶级数、傅里叶系数

傅里叶级数:
a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n x ) + b n sin ⁡ n x ) frac{a_0}{2}+sum_{n=1}^∞(a_ncos nx)+b_nsin nx) 2a0+n=1(ancosnx)+bnsinnx)

傅里叶系数:
{ a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x ( n = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . ) b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x d x ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) left{begin{aligned} a_n=frac{1}{π}int_{-π}^{π}f(x)cos nx{rm d}x quad (n=0,1,2,3,...)\ b_n=frac{1}{π}int_{-π}^{π}f(x)sin nx{rm d}x qquad (n=1,2,3,...) end{aligned}right. an=π1ππf(x)cosnxdx(n=0,1,2,3,...)bn=π1ππf(x)sinnxdx(n=1,2,3,...)


正弦级数、余弦级数

已知傅里叶系数为:
{ a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ⁡ n x d x ( n = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . ) b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ⁡ n x d x ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) left{begin{aligned} a_n=frac{1}{π}int_{-π}^{π}f(x)cos nx{rm d}x quad (n=0,1,2,3,...)\ b_n=frac{1}{π}int_{-π}^{π}f(x)sin nx{rm d}x qquad (n=1,2,3,...) end{aligned}right. an=π1ππf(x)cosnxdx(n=0,1,2,3,...)bn=π1ππf(x)sinnxdx(n=1,2,3,...)

①当 f ( x ) 为奇函数 f(x)为奇函数 f(x)为奇函数时, f ( x ) cos ⁡ n x f(x)cos nx f(x)cosnx是奇函数, f ( x ) sin ⁡ n x f(x)sin nx f(x)sinnx是偶函数,故
{ a n = 0 ( n = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . ) b n = 2 π ∫ 0 π f ( x ) sin ⁡ n x d x ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) left{begin{aligned} a_n=0 qquad qquad qquad qquad (n=0,1,2,3,...)\ b_n=frac{2}{π}int_0^{π}f(x)sin nx{rm d}x quad (n=1,2,3,...) end{aligned}right. an=0(n=0,1,2,3,...)bn=π20πf(x)sinnxdx(n=1,2,3,...)

②当 f ( x ) 为偶函数 f(x)为偶函数 f(x)为偶函数时, f ( x ) cos ⁡ n x f(x)cos nx f(x)cosnx是偶函数, f ( x ) sin ⁡ n x f(x)sin nx f(x)sinnx是奇函数,故
{ a n = 2 π ∫ 0 π f ( x ) cos ⁡ n x d x ( n = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . ) b n = 0 ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) left{begin{aligned} a_n=frac{2}{π}int_0^{π}f(x)cos nx{rm d}x qquad (n=0,1,2,3,...)\ b_n =0 qquad qquad qquad qquad quad qquad (n=1,2,3,...) end{aligned}right. an=π20πf(x)cosnxdx(n=0,1,2,3,...)bn=0(n=1,2,3,...)

即知
奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数 ∑ n = 1 ∞ b n sin ⁡ n x sumlimits_{n=1}^∞b_nsin nx n=1bnsinnx

偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数 a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x dfrac{a_0}{2}+sumlimits_{n=1}^∞a_ncos nx 2a0+n=1ancosnx



例题1:03年3.
高数(下) 第十二章:无穷级数

分析:
高数(下) 第十二章:无穷级数

答案:1


狄利克雷收敛定理

设f(x)是周期为2π的周期函数,若它满足:
(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
(2)在一个周期内至多只有有限个极值点

那么f(x)的傅里叶级数收敛,并且
①当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x) 和函数S(x)=f(x)
②当x是f(x)的间断点时,级数收敛于 1 2 [ f ( x − ) + f ( x + ) ] dfrac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)] 21[f(x)+f(x+)]
和函数S(x)=间断点左右极限的平均值






奇延拓、偶延拓、周期延拓

奇延拓:把(0,π]上的奇函数延展为(-π,π]上的奇函数
偶延拓:把(0,π]上的偶函数延展为(-π,π]上的偶函数
周期延拓:从周期为(-π,π] 延展为周期为2π的周期函数




例题:13年3.   奇延拓、周期延拓
高数(下) 第十二章:无穷级数

分析:S(x)表达式为正弦函数,说明是奇函数的傅里叶级数,f(x)为奇函数。
观察bn,知x∈(0,1)
对f(x)进行奇延拓,周期延拓,则f(x)周期为2
∴ S ( − 9 4 ) = S ( − 9 4 + 2 ) = S ( − 1 4 ) = f ( − 1 4 ) = − 1 4 ∴S(-frac{9}{4})=S(-frac{9}{4}+2)=S(-frac{1}{4})=f(-frac{1}{4})=-frac{1}{4} S(49)=S(49+2)=S(41)=f(41)=41

高数(下) 第十二章:无穷级数

答案:C


程序员灯塔
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