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02#对数函数:换底公式

开发技术 开发技术 2022-10-09 次浏览

什么是换底公式

有一个对数 logab,把 a 的底数换成 c,那么就有 logcb/logca,这个过程就叫作换底。新的底数 c 可以是 10、5、e 等,具体的情况要根据题目要求来决定。换底公式在实际中非常常用,不是所有的对数的底数都是相同的,通过“换底公式”能够统一对数的底。

换底公式的运用

题目一

log54 * log54 * log54 * log54 = ?

这四个对数的底数都不一样,那么该选择哪个合适的底数来替换之前的底数呢?可以是 e,也可以是 10,不管选哪个都可以,目的是统一它们的底数从而继续计算下去。

02#对数函数:换底公式

题目二

已知 b > 0,log5b=a,lgb=c,5d=10,则下列等式一定成立的是()?

A. d=ac B. a= cd C. c=ad D. d=a+c

题目中有对数也有指数,指数和对数可以互相转换?。把 5d=10 转换成对数:log510=d。现在,有两个对数的底数都是 5,所以应该把另一个对数的底数换成 5(少数服从多数)。

02#对数函数:换底公式

换底公式的变式

明白了换底公式的过程之后,还有一个非常重要的变式在实际中也经常使用到:logab=1/logba。下面是该变式的推导过程:

02#对数函数:换底公式

所以,我们可以得出一个结论,一个对数的底数与真数互换位置之后的倒数等于原本的对数。可能会有点迷惑,通过下面的实践来理解这个变式。

题目一

求解:log5x-logx25=1

logx25 可以写成 2logx5。现在,我们来仔细观察前面的对数和这个对数,是不是底数与真数互换位置了?令 log5x 等于 t,2logx5 等于 2*1/t。

02#对数函数:换底公式

t = 2 或 t = -1,分两个情况:

  1. t = log5x = 2,把对数换成指数求得 x = 52 = 25;
  2. t = log5x = -1,对数换成指数求得 x = 5-1 = 1/5。

所以,x = 25 或 x = 1/5。可能不理解的是为什么令“2logx5 等于 2*1/t”。这是由“换底公式”的变式得来的,一个对数的底数与真数互换位置之后的倒数等于原本的对数。废话不多说,直接推导:

02#对数函数:换底公式

下面也不多说了,反正以后看到这种形式的对数第一个想到的就是“换底公式”的变式。

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