核磁共振成像学习笔记——从FID信号到K空间

在理想磁场环境下（没有不存在场不均匀性），对于一个没有梯度场的方块。
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此时，RF pulse的两路正交信号（相位差为90°）对此方块进行激发，然后收取信号，我们可以得到由此方块产生的FID信号。

设此信号为(S(t))，则此信号由(S_c(t))与(S_s(t))组成，分别组成(S(t))的实部与虚部。

[left{ begin{aligned} S_c(t)=M_{xy}e^{-t/T_2}cos({omega}t)\ S_s(t)=M_{xy}e^{-t/T_2}sin({omega}t) end{aligned} right. ]

这是我们的接受线圈接收到的两组正交信号。
再利用欧拉公式

[left{ begin{aligned} cos({omega}t)=frac{e^{i{omega}t}+e^{-{i{omega}t}}}{2}\ sin({omega}t)=frac{e^{i{omega}t}-e^{-{i{omega}t}}}{2i} end{aligned} right. ]

使

[ S(t)=S_c(t)+iS_s(t) ]

则

[ S(t)=M_{xy}*e^{-t/T_2}*e^{-i{omega}t} ]

此时，我们忽略衰减项(e^{-t/T_2})，则

[ S(t)=M_{xy}*e^{-i{omega}t} ]

这是我们对单个方块进行激发的结果，那么此时，引入梯度磁场进行空间定位。
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根据拉莫尔进动(Larmor precession)

[ omega={gamma}B ]

Phase encoding gradient和frequency encoding gradient的出现会使得这个方块内部的每个位置的进动频率(omega)发生变化。但需要注意Phase encoding gradient和frequency encoding gradient是不能够同时开启的(SE序列中)。然后，我们看自旋回波序列(SE)。核磁共振成像学习笔记——从FID信号到K空间

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在接收信号前，分别开启了一段Phase encoding gradient和frequency encoding gradient。在接收信号的时候，frequency encoding gradient全程保持开启。
先进行公式推导，(S(t))即为上文理想方块条件下推导得出的，我们将(M_{xy})设定为(rho(x,y))表示方块中每个位置在加权设定后的信号强度，则

[ S(t)=iint{rho(x,y)e^{-iphi(x,y,t)}}dxdy ]

其中

[ phi(x,y,t)={gamma}int_{0}^{t}{[G_x(t^{prime})x+G_y(t)y]}dt^{prime} ]

设定(G_x)为frequency encoding gradient，(G_y)为Phase encoding gradient，和序列图中保持一致，(0)至(t)为开始采样至实时采样的时间，SE序列图中的(t_1)和(t_2)为其中的两个(t)（这是一个变上限积分）。
令

[left{ begin{aligned} k_x=2piint_{0}^{t}{G_x(t^{prime})}dt^{prime}\ k_y=2piint_{0}^{t}{G_y(t)}dt^{prime} end{aligned} right. ]

则

[ S(t)=iint{rho(x,y)e^{-i2pi[k_xx+k_yy]}}dxdy ]

即

[ S(k_x,k_y)=iint{rho(x,y)e^{-i2pi[k_xx+k_yy]}}dxdy ]

至此，在数学上说明了(S(t))与(rho(x,y))互为傅里叶变换对。这时，我们将方块分割为一个3*3的方块进行进一步的说明。核磁共振成像学习笔记——从FID信号到K空间

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其中的数值为该位置对应的(rho(x,y))数值。
以(S_c(t))信号为例，其组成的是(S(t))中的实部，在没有进行空间编码前

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根据SE序列的波形，先是进行了Phase encoding gradient

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Phase encoding gradient改变的也是(omega)，但作用了一段时间就停止了，相当于把纵向的各个单位以不同的(omega)推了相同的时间，那么他们的相位(theta)就发生了变化。并且，通过改变Phase encoding gradient的斜率，可以使得(theta)的数值发生变化，对于一个3*3的方块，想要进行空间定位就要改变三次Phase encoding gradient斜率。
然后在收取数据的同时，进行frequency encoding gradient 核磁共振成像学习笔记——从FID信号到K空间

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frequency encoding gradient同样改变了(omega)，并且与收取信号同时进行，就此完成了区块的空间定位。通俗的来说，假设这些区块在一个环形的跑道进行赛跑，Phase encoding gradient就相当于在跑步开始之前，将同一个跑道上的每个跑者推到不同的起点上，frequency encoding gradient相当于使得不同跑道上的跑者有不同的跑步速度。
让我们回到公式

[left{ begin{aligned} k_x=2piint_{0}^{t}{G_x(t^{prime})}dt^{prime}\ k_y=2piint_{0}^{t}{G_y(t)}dt^{prime} end{aligned} right. ]

这里面的(k_x)与(k_y)就是位于K空间的(xy)坐标（注意(t)与(t^{prime})的区别）。(G_y(t))就是Phase encoding gradient，在SE序列中每次都需要重新变化斜率，需要在y方向将区域分割成多少块，就需要变化多少次斜率，每次变化都需要经过一个(TR)。而(G_x)则保持不变，并且只需要增加采样点数就可以增加此方向的区块分割，不需要增加采样的时间。故我们使用SE序列进行图像重建的时候，最好将分块更多的方向对应frequency encoding gradient，因为每次Phase encoding gradient都需要消耗一个(TR)。这里我截取MRI,The Basics书中的一幅图说明这一点。核磁共振成像学习笔记——从FID信号到K空间

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对于一个(3*3)的方块，哪边放在frequency encoding gradient都无所谓。但如果是一个(128*256)的方块，那么就需要将256的那条边放在frequency encoding gradient上，以减少重建时间。
参考:
[1]MRI From Picture to Proton
[2]MRI, The Basics
[3]MRI磁振影像學盧家鋒
[4]MRI原理-信号 - lemon lelieven的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/137255997
[5]【磁共振的K空间】 https://www.bilibili.com/video/BV1ch411e7Yc/?share_source=copy_web&vd_source=0e8c3fe50c67df43ceeb30f63e36eb0d

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